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🇨🇩 Nombres

Rationnels et proportionnalité (TVA)

⏱ 25 minProgramme officiel : CD-E8-NOM-03

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🎯 Dans cette leçon, tu vas apprendre à

  • Situer fractions et décimaux dans Q, rendre une fraction irréductible et opérer sur les fractions.
  • Appliquer la proportionnalité au calcul de la taxe sur la valeur ajoutée.

La leçon

Introduction

Dans une quincaillerie de Matadi, l’étiquette d’un sac de ciment indique un prix hors taxe (HT) ; à la caisse, on paie le prix toutes taxes comprises (TTC), qui inclut la taxe sur la valeur ajoutée (TVA). Calculer la TVA demande de bien manier les fractions et la proportionnalité. Dans cette leçon, tu situes fractions et décimaux dans Q\mathbb{Q}, tu rends une fraction irréductible, tu opères sur les fractions et tu calcules une TVA.

Explication

L’ensemble Q\mathbb{Q} et les fractions irréductibles

Un nombre rationnel peut s’écrire ab\dfrac{a}{b} avec a∈Za\in\mathbb{Z}, b∈Zb\in\mathbb{Z} et b≠0b\ne0. On a N⊂Z⊂D⊂Q\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}.

  • −7=−71-7=\dfrac{-7}{1} et 0,25=140{,}25=\dfrac{1}{4} sont des rationnels.
  • 13=0,333…\dfrac{1}{3}=0{,}333\dots est un rationnel, mais pas un décimal : la division ne s’arrête jamais.

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n’ont pas d’autre diviseur commun que 11. Pour la rendre irréductible, on divise les deux termes par leur PGCD.

Explication

Opérations sur les fractions

  • Addition et soustraction : on réduit au même dénominateur (le PPCM des dénominateurs), puis on additionne ou soustrait les numérateurs : 56−14=1012−312=712\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{10}{12}-\dfrac{3}{12}=\dfrac{7}{12}.
  • Multiplication : ab×cd=a×cb×d\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}. Simplifie avant de multiplier quand c’est possible.
  • Division : diviser par une fraction non nulle, c’est multiplier par son inverse : ab÷cd=ab×dc\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}.
  • Les règles des signes de Z\mathbb{Z} s’appliquent : −ab=−ab\dfrac{-a}{b}=-\dfrac{a}{b}.

Explication

La TVA, une situation de proportionnalité

En RDC, le taux normal de la TVA est de 16 %16\,\%. La TVA se calcule toujours sur le prix hors taxe :
TVA=HT×16100TTC=HT+TVA=HT×1,16\text{TVA}=\text{HT}\times\dfrac{16}{100}\qquad\text{TTC}=\text{HT}+\text{TVA}=\text{HT}\times1{,}16

Le prix TTC est donc proportionnel au prix HT, avec le coefficient 1,161{,}16.

Prix HT (FC)1 0001\,0005 0005\,00020 00020\,000
Prix TTC (FC)1 1601\,1605 8005\,80023 20023\,200

Pour retrouver le prix HT à partir du prix TTC, on divise par 1,161{,}16 : HT=TTC÷1,16\text{HT}=\text{TTC}\div1{,}16.

Exemple résolu

Problème : Rends irréductible la fraction 84126\dfrac{84}{126}.

Étape 1 : On décompose : 84=22×3×784=2^2\times3\times7 et 126=2×32×7126=2\times3^2\times7.

Étape 2 : PGCD =2×3×7=42=2\times3\times7=42.

Étape 3 : 84126=84÷42126÷42=23\dfrac{84}{126}=\dfrac{84\div42}{126\div42}=\dfrac{2}{3}.

Réponse : 23\dfrac{2}{3}, car 22 et 33 n’ont pas de diviseur commun autre que 11.

Exemple résolu

Problème : Calcule 56−34×29\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{9}.

Étape 1 : La multiplication est prioritaire : 34×29=636=16\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{9}=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}.

Étape 2 : 56−16=46\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{6}.

Étape 3 : On simplifie par 22 : 46=23\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}.

Réponse : 23\dfrac{2}{3}.

Exemple résolu

Problème : Un poste de radio coûte 45 00045\,000 FC HT. Calcule la TVA à 16 %16\,\% et le prix TTC. Un autre article coûte 58 00058\,000 FC TTC : quel est son prix HT ?

Étape 1 : TVA =45 000×0,16=7 200=45\,000\times0{,}16=7\,200 FC.

Étape 2 : TTC =45 000+7 200=52 200=45\,000+7\,200=52\,200 FC. Vérification : 45 000×1,16=52 20045\,000\times1{,}16=52\,200.

Étape 3 : HT =58 000÷1,16=50 000=58\,000\div1{,}16=50\,000 FC. Vérification : 50 000×1,16=58 00050\,000\times1{,}16=58\,000.

Réponse : TVA 7 2007\,200 FC, prix TTC 52 20052\,200 FC ; le second article coûte 50 00050\,000 FC HT.

Attention

Erreur fréquente : pour trouver le prix HT, on ne retire pas 16 %16\,\% du prix TTC. Avec 58 00058\,000 FC TTC, le calcul 58 000−0,16×58 000=48 72058\,000-0{,}16\times58\,000=48\,720 FC est faux, car la TVA a été calculée sur le prix HT, pas sur le prix TTC. Il faut diviser : 58 000÷1,16=50 00058\,000\div1{,}16=50\,000 FC.

À retenir

  • N⊂Z⊂D⊂Q\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q} ; 13\dfrac{1}{3} est rationnel mais pas décimal.
  • Fraction irréductible : diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD.
  • Additionner : même dénominateur ; multiplier : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux ; diviser : multiplier par l’inverse.
  • TVA == HT ×0,16\times0{,}16 ; TTC == HT ×1,16\times1{,}16 ; HT == TTC ÷1,16\div1{,}16.

✍️ Exercices

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Exercice 1 sur 9

★ Facile

Quelle est la forme irréductible de 1824\dfrac{18}{24} ?

Ta réponse