Décimaux, puissances de 10 et encadrements

Une ville peut compter plusieurs millions d’habitants, alors qu’un grain de pollen mesure à peine quelques centièmes de millimètre. Pour écrire de très grands ou de très petits nombres sans aligner une longue file de zéros, on utilise les puissances de 10. Dans cette leçon, tu écris un décimal sous la forme $a\times10^n$ avec $n$ entier relatif, tu encadres un décimal et tu donnes des valeurs approchées.

Puissances de 10 à exposant relatif

Pour $n$ entier naturel : $10^n=1\,0\dots0$ ($n$ zéros) et $10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}=0{,}0\dots01$ (le chiffre $1$ est à la $n$-ième place après la virgule).

Règles : $10^m\times10^n=10^{m+n}$ et $\dfrac{10^m}{10^n}=10^{m-n}$.

Multiplier par $10^n$ déplace la virgule de $n$ rangs vers la droite ; multiplier par $10^{-n}$ la déplace de $n$ rangs vers la gauche.

Écriture $a\times10^n$ et notation scientifique

Tout décimal peut s’écrire comme un entier multiplié par une puissance de 10 : $3{,}45=345\times10^{-2}$.

La notation scientifique est l’écriture $a\times10^n$ où $1\le a<10$ et $n$ est un entier relatif :

• $3\,450=3{,}45\times10^3$ ;
• $0{,}007\,2=7{,}2\times10^{-3}$.

Pour trouver $n$, on compte de combien de rangs il faut déplacer la virgule pour obtenir un nombre $a$ compris entre $1$ et $10$. Un nombre plus petit que $1$ a un exposant négatif.

Encadrements et valeurs approchées

Encadrer $x$, c’est trouver deux nombres $a$ et $b$ tels que $a<x<b$. La différence $b-a$ est l’amplitude de l’encadrement. Pour $x=7{,}468$ :

• à l’unité : $7<x<8$ ;
• au dixième : $7{,}4<x<7{,}5$ ;
• au centième : $7{,}46<x<7{,}47$.

Le nombre de gauche est la valeur approchée par défaut, celui de droite la valeur approchée par excès.

Arrondir, c’est choisir la plus proche des deux. On regarde le chiffre suivant : s’il vaut $5$ ou plus, on prend la valeur par excès ; sinon, la valeur par défaut. L’arrondi de $7{,}468$ au centième est $7{,}47$.