Monômes, polynômes et produits remarquables

Un agriculteur de Kikwit agrandit un champ carré de côté $x$ mètres en allongeant chacun de ses côtés de $3$ m. L’aire du nouveau champ est $(x+3)^2$. Combien de mètres carrés a-t-il gagnés ? Pour répondre, il faut savoir développer une telle expression. Dans cette leçon, tu additionnes, soustrais et multiplies des polynômes, tu utilises les produits remarquables pour développer et factoriser, tu décomposes un trinôme du 2e degré et tu résous une équation produit.

Monômes et polynômes

Un monôme est un produit d’un nombre (le coefficient) par des puissances de lettres (la partie littérale) : dans $-5x^3$, le coefficient est $-5$ et le degré est $3$.

Deux monômes sont semblables s’ils ont la même partie littérale : $4x^2$ et $-x^2$. On les additionne en additionnant les coefficients : $4x^2-x^2=3x^2$.

Un polynôme est une somme de monômes. Son degré est le plus grand degré de ses termes : $2x^3-x+7$ est de degré $3$.

Pour soustraire un polynôme, on change le signe de chacun de ses termes : $-(x^2-4x+1)=-x^2+4x-1$.

Multiplication et produits remarquables

• Monôme par monôme : on multiplie les coefficients et on additionne les exposants : $(3x^2)\times(-2x^3)=-6x^5$.
• Double distributivité : $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

Produits remarquables :
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Lus de gauche à droite, ils servent à développer ; lus de droite à gauche, ils servent à factoriser : $x^2-16=(x-4)(x+4)$.

Trinôme $x^2+sx+p$ et équation produit

Pour décomposer $x^2+sx+p$, on cherche deux nombres $m$ et $n$ dont la somme est $s$ et le produit est $p$. Alors :
$$x^2+sx+p=(x+m)(x+n)$$
Exemple : pour $x^2+5x+6$, on cherche une somme $5$ et un produit $6$ : ce sont $2$ et $3$, donc $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$.

Équation produit : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
$$A\times B=0\iff A=0\ \text{ou}\ B=0$$