Équations du 1er degré dans N, Z, D et Q

L’équation $2x+9=1$ a-t-elle une solution ? Oui si l’on cherche dans $\mathbb{Z}$ : $x=-4$. Non si l’on cherche seulement parmi les nombres naturels. La réponse à une équation dépend donc de l’ensemble dans lequel on la résout. Dans cette leçon, tu résous des équations du 1er degré dans $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Q}$, ainsi que des équations qui s’y ramènent, et tu mets des problèmes en équation.

Résoudre dans un ensemble donné

On résout d’abord l’équation, puis on garde seulement les solutions qui appartiennent à l’ensemble demandé. On note $S$ l’ensemble des solutions.

Le symbole $\varnothing$ désigne l’ensemble vide : aucune solution.

Cas particuliers après réduction

Après avoir développé et regroupé, on arrive à une équation de la forme $ax=b$.

• Si $a\ne0$ : une seule solution, $x=\dfrac{b}{a}$.
• Si $a=0$ et $b\ne0$ : l’égalité $0=b$ est fausse, l’équation est impossible : $S=\varnothing$.
• Si $a=0$ et $b=0$ : l’égalité $0=0$ est toujours vraie, tout nombre de l’ensemble est solution.

Équations qui se ramènent au 1er degré :

• quand on développe, les termes en $x^2$ s’annulent : $(x+1)^2=x^2+5$ devient $2x+1=5$ ;
• une équation produit $(ax+b)(cx+d)=0$ donne deux équations du 1er degré.

Mettre un problème en équation

1. Choisir l’inconnue et préciser ce qu’elle représente, avec son unité.
2. Traduire chaque phrase de l’énoncé à l’aide de l’inconnue.
3. Écrire l’équation et la résoudre.
4. Vérifier que la solution convient : un nombre de personnes doit être un naturel, une longueur doit être positive.
5. Répondre par une phrase.