Systèmes de deux équations à deux inconnues

Au marché de Kisangani, Amani paie $10\,500$ FC pour $3$ kg de haricots et $2$ kg de riz. Sa voisine paie $8\,500$ FC pour $1$ kg de haricots et $4$ kg de riz. Quel est le prix d’un kilogramme de chaque produit ? Il y a deux inconnues et deux informations : on écrit un système de deux équations à deux inconnues. Dans cette leçon, tu apprends deux méthodes pour le résoudre et tu les appliques à des problèmes.

Système et solution

Un système de deux équations du 1er degré à deux inconnues s’écrit :
$$\begin{cases}ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{cases}$$
Une solution est un couple $(x\,;y)$ qui vérifie les deux équations en même temps.

Exemple : $(4\,;3)$ est solution de $\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}$ car $4+3=7$ et $4-3=1$. Le couple $(5\,;2)$ vérifie la première équation mais pas la seconde : ce n’est pas une solution.

Chaque équation correspond à une droite ; la solution est le point où les deux droites se coupent.

Méthode de substitution

1. Dans l’une des équations, on exprime une inconnue en fonction de l’autre (de préférence celle dont le coefficient est $1$ ou $-1$).
2. On remplace cette expression dans l’autre équation : on obtient une équation à une seule inconnue.
3. On la résout, puis on calcule la seconde inconnue.
4. On vérifie le couple dans les deux équations.

Méthode de combinaison (addition)

1. On multiplie chaque équation (les deux membres) par un nombre choisi pour que les coefficients d’une inconnue deviennent opposés.
2. On additionne membre à membre : cette inconnue disparaît.
3. On résout, puis on remplace pour trouver l’autre inconnue.

Cas particuliers

Si, en résolvant, les deux inconnues disparaissent :

• on obtient une égalité fausse (par exemple $0=3$) : le système n’a aucune solution (les deux droites sont strictement parallèles) ;
• on obtient une égalité toujours vraie ($0=0$) : le système a une infinité de solutions (les deux droites sont confondues).

Exemple : dans $\begin{cases}x+2y=4\\2x+4y=5\end{cases}$, la première équation multipliée par $2$ donne $2x+4y=8$, ce qui contredit $2x+4y=5$ : aucune solution.