Proportionnalité, pourcentage et échelle

Masika coud des uniformes à Bukavu. Si $6$ m de tissu coûtent $27\,000$ FC, combien coûtent $10$ m ? Une remise de $15\,\%$ sur un uniforme, combien cela fait-il ? Et sur une carte, combien de kilomètres représentent $7{,}5$ cm ? Ces trois questions utilisent la même idée : la proportionnalité. Dans cette leçon, tu apprends à utiliser rapports, proportions, pourcentages et échelles.

Rapports et proportions

Le rapport de $a$ à $b$ ($b\ne0$) est le quotient $\dfrac{a}{b}$.

Une proportion est une égalité de deux rapports : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$. Les termes $a$ et $d$ sont les extrêmes, $b$ et $c$ les moyens. Propriété fondamentale :
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff a\times d=b\times c$$
(le produit des extrêmes est égal au produit des moyens).

Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre $k$, le coefficient de proportionnalité. Pour trouver une valeur inconnue, on utilise la règle de trois : on calcule d’abord la valeur pour une unité.

Pourcentages

Un pourcentage est un rapport de dénominateur $100$ : $p\,\%=\dfrac{p}{100}$.

• Prendre $p\,\%$ d’une quantité $A$ : $\dfrac{p}{100}\times A$. Exemple : $15\,\%$ de $32\,000$ FC valent $0{,}15\times32\,000=4\,800$ FC.
• Augmenter $A$ de $p\,\%$ : nouvelle valeur $A\times\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$.
• Diminuer $A$ de $p\,\%$ : nouvelle valeur $A\times\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$.
• Trouver un pourcentage : $\dfrac{\text{partie}}{\text{total}}\times100$.

Échelle

Sur une carte ou un plan, l’échelle est le rapport
$$\text{échelle}=\frac{\text{distance sur la carte}}{\text{distance réelle}}$$
les deux distances étant exprimées dans la même unité.

Une échelle $\dfrac{1}{50\,000}$ signifie que $1$ cm sur la carte représente $50\,000$ cm, soit $500$ m, dans la réalité.

• Distance réelle $=$ distance sur la carte $\times$ $50\,000$.
• Distance sur la carte $=$ distance réelle $\div$ $50\,000$.