Expressions littérales et factorisation

Lusamba veut clôturer un jardin rectangulaire dont la largeur est $x$ mètres et la longueur $2x+3$ mètres. Avant de connaître $x$, il peut déjà écrire le périmètre avec des lettres : c’est une expression littérale. Dans cette leçon, tu apprends à écrire, transformer et évaluer de telles expressions, puis à les factoriser.

Expressions littérales

Une expression littérale contient des lettres qui représentent des nombres. Conventions : $3a$ signifie $3\times a$ ; $ab$ signifie $a\times b$ ; $a^2=a\times a$.

• Évaluer une expression, c’est remplacer chaque lettre par sa valeur, puis calculer en respectant la priorité des opérations. Mets des parenthèses autour d’une valeur négative : pour $x=-2$, $3x^2=3\times(-2)^2=12$.
• Réduire, c’est regrouper les termes semblables (même partie littérale) : $7x+3-2x+5=5x+8$ et $2a+3b-a=a+3b$.

Développer

Développer, c’est transformer un produit en somme :
$$k(a+b)=ka+kb\qquad (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$

Produits remarquables
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Exemple : $(x+5)^2=x^2+10x+25$.

Factoriser

Factoriser, c’est transformer une somme en produit. Trois méthodes :

1. Mise en évidence simple d’un facteur commun : $6x+9=3\times2x+3\times3=3(2x+3)$.
2. Groupement : on regroupe les termes deux par deux pour faire apparaître un facteur commun : $ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)$.
3. Produits remarquables lus de droite à gauche : $x^2-9=(x-3)(x+3)$ et $x^2+6x+9=(x+3)^2$.

On vérifie toujours une factorisation en redéveloppant.