Nombres décimaux et fractions

Au marché de Matadi, Furaha achète $2{,}5$ kg de sucre et $1{,}5$ l d’huile de palme. Elle utilise ensuite les $\frac{2}{5}$ d’un bidon d’eau pour la cuisine. Pour payer juste, rendre la monnaie ou partager une quantité, il faut savoir calculer avec les nombres décimaux et les fractions. C’est l’objet de cette leçon.

Nombres décimaux

Un nombre décimal s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule : $3{,}75=\dfrac{375}{100}$. L’ensemble des décimaux se note $\mathbb{D}$.

• Addition, soustraction : on aligne les virgules (on peut compléter par des zéros : $6{,}2=6{,}20$).
• Multiplication : on multiplie sans tenir compte des virgules ; le produit a autant de chiffres après la virgule que les deux facteurs ensemble : $0{,}6\times0{,}4=0{,}24$.
• Division par un décimal : on multiplie le dividende et le diviseur par la même puissance de $10$ pour rendre le diviseur entier : $7{,}5\div0{,}25=750\div25=30$.
• Multiplier par $10$, $100$, $1\,000$ décale la virgule de $1$, $2$, $3$ rangs vers la droite.

Fractions : simplifier et comparer

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ ($b\ne0$) a un numérateur $a$ et un dénominateur $b$.

• On ne change pas une fraction en multipliant ou en divisant ses deux termes par un même nombre non nul : $\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{8}$.
• Simplifier : on divise les deux termes par un diviseur commun. Avec le plus grand diviseur commun, on obtient directement la fraction irréductible : $\dfrac{36}{48}=\dfrac{36\div12}{48\div12}=\dfrac{3}{4}$.
• Comparer : avec le même dénominateur, la plus grande fraction a le plus grand numérateur. Sinon, on réduit d’abord au même dénominateur.

Opérations sur les fractions

• Somme et différence : même dénominateur obligatoire : $\dfrac{a}{d}+\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{d}$. Sinon, on réduit au même dénominateur.
• Produit : $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$.
• Quotient : diviser par $\dfrac{c}{d}$, c’est multiplier par son inverse $\dfrac{d}{c}$ ($c\ne0$) : $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$.
• Fraction d’une quantité : les $\dfrac{2}{5}$ de $20$ l valent $\dfrac{2\times20}{5}=8$ l.

La priorité des opérations reste la même : produits et quotients avant sommes et différences. On simplifie le résultat final.