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🇨🇩 Algèbre : nombres relatifs, décimaux et fractions

L’ensemble Z

⏱ 25 minProgramme officiel : CD-E7-ALG-01

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🎯 Dans cette leçon, tu vas apprendre à

  • Construire Z, comparer et ordonner des entiers relatifs.
  • Additionner, soustraire, multiplier, diviser et élever à une puissance dans Z en respectant la règle des parenthèses.

La leçon

Introduction

La surface du lac Tanganyika se trouve bien au-dessus du niveau de la mer, mais son fond descend plus bas que ce niveau. Pour noter une position sous le niveau de la mer, une perte ou un recul, les nombres naturels ne suffisent plus : on utilise les entiers relatifs, positifs ou négatifs. Dans cette leçon, tu apprends à les comparer et à calculer avec eux.

Explication

L’ensemble Z\mathbb{Z}

Z={… ;−3 ;−2 ;−1 ;0 ;1 ;2 ;3 ;… }\mathbb{Z}=\{\dots\,;-3\,;-2\,;-1\,;0\,;1\,;2\,;3\,;\dots\}

Il contient les naturels et leurs opposés : N⊂Z\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}. L’opposé de 55 est −5-5 ; l’opposé de −5-5 est 55 ; 00 est son propre opposé.

La valeur absolue ∣a∣|a| est la distance de aa à 00 : ∣−7∣=7|-7|=7 et ∣7∣=7|7|=7.

Comparer : sur la droite graduée, le plus grand nombre est le plus à droite.

  • Tout nombre positif est plus grand que tout nombre négatif.
  • Entre deux négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue : −2>−9-2>-9.

Explication

Addition et soustraction

  • Même signe : on additionne les valeurs absolues et on garde le signe commun : (−4)+(−6)=−10(-4)+(-6)=-10.
  • Signes contraires : on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande et on prend le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue : (−9)+4=−5(-9)+4=-5.
  • Soustraire, c’est ajouter l’opposé : a−b=a+(−b)a-b=a+(-b). Ainsi 3−(−8)=3+8=113-(-8)=3+8=11.

Règle des parenthèses

  • Précédées de ++ : on les supprime sans changer les signes : +(a−b)=a−b+(a-b)=a-b.
  • Précédées de −- : on les supprime en changeant tous les signes à l’intérieur : −(a−b+c)=−a+b−c-(a-b+c)=-a+b-c.

Explication

Multiplication, division et puissances

Règle des signes (pour le produit et pour le quotient) :

++−-
++++−-
−-−-++

Exemples : (−3)×(−5)=15(-3)\times(-5)=15 ; (−24)÷6=−4(-24)\div6=-4. Dans Z\mathbb{Z}, le quotient a÷ba\div b n’existe que si la division tombe juste.

Un produit de plusieurs facteurs non nuls est négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair, positif s’il est pair.

Puissances : (−2)3=−8(-2)^3=-8 (exposant impair) et (−2)4=16(-2)^4=16 (exposant pair). Attention : −32=−(32)=−9-3^2=-(3^2)=-9, alors que (−3)2=9(-3)^2=9.

Priorité : parenthèses, puis puissances, puis ×\times et ÷\div, puis ++ et −-.

Exemple résolu

Problème : Range dans l’ordre croissant : −7-7 ; 33 ; −2-2 ; 00 ; −10-10 ; 55.

Étape 1 : Les négatifs : −10-10 ; −7-7 ; −2-2. Le plus petit est celui qui a la plus grande valeur absolue : −10<−7<−2-10<-7<-2.

Étape 2 : Puis 00, puis les positifs : 3<53<5.

Réponse : −10<−7<−2<0<3<5-10<-7<-2<0<3<5.

Exemple résolu

Problème : Calcule A=−8+5−(−6)−(4−9)A=-8+5-(-6)-(4-9).

Étape 1 : La parenthèse : 4−9=−54-9=-5.

Étape 2 : A=−8+5−(−6)−(−5)=−8+5+6+5A=-8+5-(-6)-(-5)=-8+5+6+5.

Étape 3 : −8+5=−3-8+5=-3 ; −3+6=3-3+6=3 ; 3+5=83+5=8.

Réponse : A=8A=8.

Exemple résolu

Problème : Calcule B=(−2)3×(−5)+(−24)÷6−(−3)2B=(-2)^3\times(-5)+(-24)\div6-(-3)^2.

Étape 1 : Les puissances : (−2)3=−8(-2)^3=-8 et (−3)2=9(-3)^2=9.

Étape 2 : Le produit et le quotient : (−8)×(−5)=40(-8)\times(-5)=40 et (−24)÷6=−4(-24)\div6=-4.

Étape 3 : B=40+(−4)−9=36−9=27B=40+(-4)-9=36-9=27.

Réponse : B=27B=27.

Attention

Attention : quand des parenthèses sont précédées du signe −-, il faut changer tous les signes à l’intérieur, pas seulement le premier : 10−(3−7)=10−3+7=1410-(3-7)=10-3+7=14, et non 10−3−7=010-3-7=0. Vérifie en calculant d’abord la parenthèse : 10−(−4)=1410-(-4)=14.

À retenir

  • Z\mathbb{Z} : les naturels et leurs opposés ; ∣a∣|a| est la distance de aa à 00.
  • Entre deux négatifs, le plus grand a la plus petite valeur absolue.
  • a−b=a+(−b)a-b=a+(-b) ; un signe −- devant des parenthèses change tous les signes à l’intérieur.
  • Produit ou quotient : signes égaux donnent ++, signes contraires donnent −-.
  • (−a)n(-a)^n est positif si nn est pair, négatif si nn est impair ; −32=−9-3^2=-9.

✍️ Exercices

Réponds à un exercice à la fois. Ta réponse est corrigée aussitôt, avec une explication.

Exercice 1 sur 8

★ Facile

Quel est le plus grand de ces nombres ?

Ta réponse