Opérations, divisibilité et nombres premiers

À la coopérative de Kisangani, Bahati doit répartir 36 sacs de riz en lots égaux, sans qu’il en reste. Pour savoir quels lots sont possibles, il cherche les diviseurs de 36. Pour calculer vite, il utilise les propriétés des opérations. Dans cette leçon, tu apprends ces propriétés, les critères de divisibilité et les nombres premiers.

Propriétés des opérations dans $\mathbb{N}$

Distributivité de la multiplication sur l’addition et sur la soustraction :
$$a\times(b+c)=a\times b+a\times c\qquad a\times(b-c)=a\times b-a\times c\ (b\ge c)$$

La soustraction et la division ne sont pas commutatives : $9-4\ne4-9$.

Ces propriétés servent au calcul rapide : $25\times43\times4=(25\times4)\times43=4\,300$.

Diviseurs et multiples

$a$ est un diviseur de $b$ (et $b$ est un multiple de $a$) s’il existe un naturel $k$ tel que $b=a\times k$ : la division de $b$ par $a$ a un reste nul.

• Diviseurs de $12$ : $\{1\,;2\,;3\,;4\,;6\,;12\}$.
• Multiples de $6$ : $\{0\,;6\,;12\,;18\,;\dots\}$.

Critères de divisibilité. Un naturel est divisible :

• par $2$ si son dernier chiffre est pair ; par $5$ s’il se termine par $0$ ou $5$ ; par $10$ s’il se termine par $0$ ;
• par $4$ si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de $4$ ;
• par $3$ (ou par $9$) si la somme de ses chiffres est un multiple de $3$ (ou de $9$).

Nombres premiers

Un naturel est premier s’il a exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même. Les nombres premiers inférieurs à $30$ sont :
$$2\,;3\,;5\,;7\,;11\,;13\,;17\,;19\,;23\,;29$$

$0$ et $1$ ne sont pas premiers. $2$ est le seul nombre premier pair.

Tester si $n$ est premier : on essaie de diviser $n$ par les nombres premiers $p$ tels que $p\times p\le n$. Si aucune division ne tombe juste, $n$ est premier.

Décomposition en facteurs premiers : tout naturel supérieur à $1$ s’écrit comme un produit de nombres premiers, par exemple $360=2^3\times3^2\times5$.