Divisibilité, PPCM et PGCD

Ilunga a 24 mangues et 36 oranges. Il veut faire des paniers tous pareils, sans qu’il reste de fruit. Combien de paniers peut-il faire au maximum ? Pour répondre vite, il faut connaître les caractères de divisibilité, le PGCD et le PPCM. Dans cette leçon, tu revois aussi les quatre opérations sur les fractions.

Caractères de divisibilité. Un nombre est divisible par :

• 2 si son dernier chiffre est pair ; 5 s’il se termine par 0 ou 5 ; 10 s’il se termine par 0 ;
• 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4 (316 : 16 = 4 × 4) ;
• 25 s’il se termine par 00, 25, 50 ou 75 ; 100 s’il se termine par 00 ;
• 8 si ses trois derniers chiffres forment un nombre divisible par 8 (5 120 : 120 = 8 × 15) ;
• 125 s’il se termine par 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 ou 875 ;
• 3 (ou 9) si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (ou par 9). Pour 738 : 7 + 3 + 8 = 18, donc 738 est divisible par 3 et par 9.

Nombres premiers. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13. Le nombre 1 n’est pas premier.

Décomposer en facteurs premiers : on divise par 2, puis 3, puis 5… tant que c’est possible.
$60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$.

• PGCD (plus grand commun diviseur) : on multiplie les facteurs communs, chacun avec le plus petit exposant.
• PPCM (plus petit commun multiple) : on multiplie tous les facteurs, chacun avec le plus grand exposant.

Opérations sur les fractions

• Addition et soustraction : on réduit au même dénominateur (le PPCM est pratique), puis on additionne ou on soustrait les numérateurs. $\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
• Multiplication : numérateur par numérateur, dénominateur par dénominateur. $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$.
• Division : on multiplie par la fraction inverse. $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

On simplifie toujours le résultat.