Propriétés et calcul rapide

Au marché de Kisangani, Bahati vend des sacs de charbon de bois. Elle doit souvent calculer de tête : 9 sacs, 11 sacs, 99 sacs… Les propriétés des opérations transforment un calcul difficile en calcul facile. Dans cette leçon, tu apprends aussi à calculer un carré, un cube, une moyenne et un pourcentage, et à vérifier un produit par la preuve par 9.

Trois propriétés utiles

• Commutativité : on peut changer l’ordre des termes. $a + b = b + a$ et $a \times b = b \times a$.
• Associativité : on peut regrouper les termes autrement. $(a + b) + c = a + (b + c)$ et $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$.
• Distributivité : $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ et $a \times (b - c) = a \times b - a \times c$.

Exemple : $4 \times 37 \times 25 = (4 \times 25) \times 37 = 100 \times 37 = 3\,700$.

Calcul rapide grâce à la distributivité

• × 9 : on multiplie par 10, puis on retire le nombre. $46 \times 9 = 460 - 46 = 414$.
• × 11 : on multiplie par 10, puis on ajoute le nombre. $53 \times 11 = 530 + 53 = 583$.
• × 99 : on multiplie par 100, puis on retire le nombre. $24 \times 99 = 2\,400 - 24 = 2\,376$.
• ÷ 5 : on multiplie par 2, puis on divise par 10. $340 \div 5 = 680 \div 10 = 68$.
• ÷ 10 : on déplace la virgule d’un rang vers la gauche. $35 \div 10 = 3{,}5$.

Carré et cube. Le carré de 7 est $7^2 = 7 \times 7 = 49$. Le cube de 4 est $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.

Moyenne. On additionne les valeurs, puis on divise par le nombre de valeurs.

Pourcentage. 15 % de 2 000, c’est $2\,000 \times 15 \div 100 = 300$.

Preuve par 9. Pour trouver le reste d’un nombre dans la division par 9, on additionne ses chiffres jusqu’à n’avoir qu’un chiffre (9 compte pour 0). Pour vérifier $a \times b = c$, on multiplie le reste de $a$ par le reste de $b$, on réduit ce produit de la même façon, puis on le compare au reste de $c$. S’ils sont différents, le calcul est sûrement faux.