ENFR

🇨🇩 Trigonométrie

Formules, équations et triangles quelconques

⏱ 30 minProgramme officiel : CD-H3-TRI-01

Tes réponses sont corrigées, mais ta progression n’est pas enregistrée. Pour l’enregistrer, connecte-toi avec ton code familial ou demande à un parent d’ouvrir ce cours depuis son tableau de bord.

🎯 Dans cette leçon, tu vas apprendre à

  • Utiliser les formules d’addition, de duplication et de transformation.
  • Résoudre équations et inéquations trigonométriques et des triangles quelconques (lois des sinus et du cosinus).

La leçon

Introduction

Un géomètre veut connaître la largeur d’une rivière près de Kananga sans la traverser, ou la distance entre deux villages séparés par une colline. Il mesure quelques angles et quelques longueurs, puis il calcule. Pour cela, il faut les formules trigonométriques (addition, duplication, transformation), savoir résoudre des équations trigonométriques, et utiliser les lois des sinus et du cosinus dans un triangle quelconque.

Explication

Formules d’addition et de duplication

  • cos⁡(a±b)=cos⁡acos⁡b∓sin⁡asin⁡b\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b
  • sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b
  • tg⁡(a±b)=tg⁡a±tg⁡b1∓tg⁡atg⁡b\operatorname{tg}(a\pm b)=\dfrac{\operatorname{tg}a\pm\operatorname{tg}b}{1\mp\operatorname{tg}a\operatorname{tg}b}

Avec b=ab=a (duplication) :

  • sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin2a=2\sin a\cos a ;
  • cos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a ;
  • tg⁡2a=2tg⁡a1−tg⁡2a\operatorname{tg}2a=\dfrac{2\operatorname{tg}a}{1-\operatorname{tg}^2a}.

Formules de transformation (somme en produit)

  • sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p+\sin q=2\sin\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2} ; sin⁡p−sin⁡q=2cos⁡p+q2sin⁡p−q2\sin p-\sin q=2\cos\dfrac{p+q}{2}\sin\dfrac{p-q}{2}
  • cos⁡p+cos⁡q=2cos⁡p+q2cos⁡p−q2\cos p+\cos q=2\cos\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2} ; cos⁡p−cos⁡q=−2sin⁡p+q2sin⁡p−q2\cos p-\cos q=-2\sin\dfrac{p+q}{2}\sin\dfrac{p-q}{2}

Explication

Équations et inéquations trigonométriques (k∈Zk\in\mathbb{Z})

  • sin⁡x=sin⁡α  ⟺  x=α+2kπ\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi ou x=π−α+2kπx=\pi-\alpha+2k\pi.
  • cos⁡x=cos⁡α  ⟺  x=α+2kπ\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi ou x=−α+2kπx=-\alpha+2k\pi.
  • tg⁡x=tg⁡α  ⟺  x=α+kπ\operatorname{tg}x=\operatorname{tg}\alpha\iff x=\alpha+k\pi.

Pour une équation plus compliquée, on se ramène à l’une de ces formes : on transforme avec les formules, ou on pose t=sin⁡xt=\sin x (ou t=cos⁡xt=\cos x) pour obtenir une équation du second degré, en gardant seulement les solutions t∈[−1 ; 1]t\in[-1\,;\,1]. On sélectionne enfin les solutions dans l’intervalle demandé.

Pour une inéquation, on résout l’équation associée, puis on lit sur le cercle trigonométrique les arcs où l’inégalité est vraie.

Explication

Triangles quelconques

Dans un triangle ABCABC, on note a=BCa=BC, b=CAb=CA, c=ABc=AB et RR le rayon du cercle circonscrit.

  • Loi des sinus : asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R.
  • Loi du cosinus (Al-Kashi) : a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A, et de même pour b2b^2 et c2c^2.
  • Somme des angles : A+B+C=180∘A+B+C=180^\circ.

On utilise la loi des sinus quand on connaît deux angles et un côté ; la loi du cosinus quand on connaît deux côtés et l’angle compris, ou les trois côtés.

Exemple résolu

Problème : Calcule la valeur exacte de cos⁡75∘\cos75^\circ.

Étape 1 : 75∘=45∘+30∘75^\circ=45^\circ+30^\circ.

Étape 2 : cos⁡75∘=cos⁡45∘cos⁡30∘−sin⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32−22⋅12\cos75^\circ=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12.

Étape 3 : cos⁡75∘=64−24\cos75^\circ=\dfrac{\sqrt6}{4}-\dfrac{\sqrt2}{4}.

Réponse : cos⁡75∘=6−24≈0,259\cos75^\circ=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\approx0{,}259.

Exemple résolu

Problème : Résous cos⁡2x=sin⁡x\cos2x=\sin x dans [0 ; 2π[[0\,;\,2\pi[.

Étape 1 : cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos2x=1-2\sin^2x, donc l’équation devient 2sin⁡2x+sin⁡x−1=02\sin^2x+\sin x-1=0.

Étape 2 : On pose t=sin⁡xt=\sin x : 2t2+t−1=02t^2+t-1=0, Δ=1+8=9\Delta=1+8=9, donc t=−1+34=12t=\dfrac{-1+3}{4}=\dfrac12 ou t=−1−34=−1t=\dfrac{-1-3}{4}=-1. Les deux sont dans [−1 ; 1][-1\,;\,1].

Étape 3 : sin⁡x=12\sin x=\dfrac12 donne x=π6x=\dfrac\pi6 ou x=5π6x=\dfrac{5\pi}6 ; sin⁡x=−1\sin x=-1 donne x=3π2x=\dfrac{3\pi}2.

Réponse : S={π6 ; 5π6 ; 3π2}S=\left\{\dfrac\pi6\,;\,\dfrac{5\pi}6\,;\,\dfrac{3\pi}2\right\}.

Exemple résolu

Problème : Pour mesurer la largeur d’une rivière, un géomètre se place en AA et BB sur la même rive, avec AB=10AB=10 m. Un arbre CC est sur l’autre rive. Il mesure CBA^=40∘\widehat{CBA}=40^\circ et CAB^=65∘\widehat{CAB}=65^\circ. Calcule ACAC.

Étape 1 : ACB^=180∘−65∘−40∘=75∘\widehat{ACB}=180^\circ-65^\circ-40^\circ=75^\circ.

Étape 2 : Loi des sinus : ACsin⁡40∘=ABsin⁡75∘\dfrac{AC}{\sin40^\circ}=\dfrac{AB}{\sin75^\circ}.

Étape 3 : AC=10sin⁡40∘sin⁡75∘≈10×0,64280,9659≈6,65AC=\dfrac{10\sin40^\circ}{\sin75^\circ}\approx\dfrac{10\times0{,}6428}{0{,}9659}\approx6{,}65 m.

Étape 4 : La largeur de la rivière est la distance de CC à la rive (AB)(AB) : ACsin⁡65∘≈6,65×0,9063≈6,03AC\sin65^\circ\approx6{,}65\times0{,}9063\approx6{,}03 m.

Réponse : AC≈6,65AC\approx6{,}65 m ; la rivière est large d’environ 6,036{,}03 m.

Attention

Attention : sin⁡(a+b)≠sin⁡a+sin⁡b\sin(a+b)\ne\sin a+\sin b et sin⁡2a≠2sin⁡a\sin2a\ne2\sin a : par exemple sin⁡60∘≈0,87\sin60^\circ\approx0{,}87 alors que 2sin⁡30∘=12\sin30^\circ=1. Dans la loi des sinus, chaque côté est associé à l’angle opposé. Et pour une équation, n’oublie pas la seconde famille de solutions : sin⁡x=12\sin x=\dfrac12 a deux solutions dans [0 ; 2π[[0\,;\,2\pi[.

À retenir

  • cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b ; sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.
  • sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin2a=2\sin a\cos a ; cos⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a.
  • sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p+\sin q=2\sin\dfrac{p+q}2\cos\dfrac{p-q}2 (et formules analogues).
  • sin⁡x=sin⁡α\sin x=\sin\alpha : x=α+2kπx=\alpha+2k\pi ou π−α+2kπ\pi-\alpha+2k\pi ; cos⁡x=cos⁡α\cos x=\cos\alpha : x=±α+2kπx=\pm\alpha+2k\pi.
  • asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C} ; a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A.

✍️ Exercices

Réponds à un exercice à la fois. Ta réponse est corrigée aussitôt, avec une explication.

Exercice 1 sur 10

★ Facile

Pour tout réel aa, à quoi est égal sin⁡2a\sin2a ?

Ta réponse