Séries à deux variables

Une coopérative agricole du Kwilu note, pour cinq champs, le nombre de sacs d’engrais utilisés et la récolte de maïs obtenue. Les deux grandeurs semblent liées : plus d’engrais, plus de maïs. Mais à quel point ? Une série statistique à deux variables permet de mesurer cette liaison avec le coefficient de corrélation, puis de prévoir une récolte grâce à une droite d’ajustement.

Nuage de points et point moyen

On étudie $n$ couples $(x_i\,;\,y_i)$. Placés dans un repère, ils forment un nuage de points. Le point moyen est $G(\bar x\,;\,\bar y)$ avec
$$\bar x=\frac1n\sum x_i,\qquad\bar y=\frac1n\sum y_i.$$
Si le nuage a une forme allongée, on peut chercher une droite qui le résume : c’est un ajustement linéaire.

Méthode de Mayer (ajustement rapide) : on partage le nuage, rangé selon les $x_i$, en deux groupes de même effectif (ou presque), on calcule le point moyen $G_1$ et $G_2$ de chaque groupe, et on trace la droite $(G_1G_2)$. Elle passe aussi par $G$.

Variance, covariance, corrélation

• Variance : $V(x)=\dfrac1n\sum x_i^2-\bar x^2$ ; écart-type : $\sigma_x=\sqrt{V(x)}$ (de même pour $y$).
• Covariance : $\operatorname{cov}(x,y)=\dfrac1n\sum x_iy_i-\bar x\,\bar y$.
• Coefficient de corrélation linéaire : $r=\dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sigma_x\,\sigma_y}$, avec $-1\le r\le1$.

Interprétation :

• $r$ proche de $1$ : forte corrélation positive (les points sont presque alignés sur une droite croissante) ;
• $r$ proche de $-1$ : forte corrélation négative (droite décroissante) ;
• $r$ proche de $0$ : pas de liaison linéaire.

En pratique, on juge souvent l’ajustement linéaire justifié lorsque $|r|$ dépasse environ $0{,}87$.

Droite des moindres carrés

La droite de régression de $y$ en $x$ est la droite $y=ax+b$ qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux. Elle vérifie
$$a=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(x)},\qquad b=\bar y-a\,\bar x.$$
Elle passe toujours par le point moyen $G$. On l’utilise pour faire des prévisions : pour une valeur $x_0$, on estime $y_0=ax_0+b$. Une prévision est d’autant plus fiable que $|r|$ est proche de $1$ et que $x_0$ reste proche des valeurs observées.