Géométrie descriptive : intersections et polyèdres

Avant de construire un hangar à Kisangani, l’architecte dessine le bâtiment sur une feuille plate. Comment représenter exactement un objet de l’espace sur un plan, puis y lire des longueurs, des intersections et des sections ? C’est l’objet de la géométrie descriptive : on projette l’objet sur deux plans perpendiculaires et on travaille sur le dessin obtenu, appelé épure.

Projections et épure

On utilise un plan horizontal $\pi$ et un plan frontal (vertical) $\pi'$, qui se coupent selon la ligne de terre, appelée aussi charnière ($ch$). Un point $A$ de l’espace a :

• une projection horizontale $a$ (sur $\pi$) et une projection frontale $a'$ (sur $\pi'$) ;
• une cote : sa distance au plan horizontal ;
• un éloignement : sa distance au plan frontal.

Pour obtenir l’épure, on fait tourner $\pi$ autour de la charnière jusqu’à ce qu’il soit dans le plan de $\pi'$. Alors $a$ et $a'$ sont sur une même perpendiculaire à $ch$ (la ligne de rappel) : pour un point situé devant $\pi'$ et au-dessus de $\pi$, $a'$ est au-dessus de $ch$ à une distance égale à la cote, et $a$ est en dessous à une distance égale à l’éloignement.

Droites, plans et intersections

• Les traces d’une droite sont ses points d’intersection avec $\pi$ (trace horizontale, de cote nulle) et avec $\pi'$ (trace frontale, d’éloignement nul).
• Un plan quelconque est souvent donné par ses traces : ses droites d’intersection avec $\pi$ et avec $\pi'$ ; elles se coupent sur la charnière.
• Intersection de deux plans : c’est une droite. Elle passe par le point commun des deux traces horizontales et par le point commun des deux traces frontales.
• Droite et plan : une droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite de ce plan. Sinon, elle le perce en un point, obtenu en coupant le plan par un plan auxiliaire contenant la droite.
• Deux droites de l’espace sont sécantes, parallèles ou gauches (non coplanaires) : elles sont sécantes si leurs points d’intersection en projection horizontale et en projection frontale sont sur une même ligne de rappel.

Polyèdres et sections planes

Un polyèdre est un solide limité par des faces polygonales (cube, prisme, pyramide…). Pour un polyèdre convexe, la relation d’Euler relie le nombre de sommets $S$, d’arêtes $A$ et de faces $F$ :
$$S-A+F=2.$$
La section d’un polyèdre par un plan est un polygone dont chaque côté est le segment commun au plan et à une face. Méthode : on cherche les points où le plan coupe les arêtes, puis on les relie face par face.

• Un plan parallèle aux bases d’un prisme donne une section superposable à ces bases.
• Un plan parallèle à la base d’une pyramide, à la distance $d$ du sommet (hauteur $h$), donne un polygone semblable à la base de rapport $k=\dfrac dh$ ; son aire est $k^2$ fois l’aire de la base.
• La section d’un cube a au plus $6$ côtés, puisque le cube a $6$ faces.