Constructions dans le plan

Pour tracer un rond-point, partager une planche en parts égales ou placer un poteau à égale distance de trois maisons, un menuisier ou un maçon de Lubumbashi utilise la règle et le compas. Chaque construction repose sur une propriété géométrique précise. Dans cette leçon, tu apprends à construire bissectrices, médiatrices, partages de segments, tangentes, cercles tangents et droites remarquables d’un triangle, et à justifier chaque construction.

Médiatrice et bissectrice

• La médiatrice de $[AB]$ est la droite perpendiculaire à $(AB)$ en son milieu. C’est l’ensemble des points équidistants de $A$ et de $B$. Construction : deux arcs de même rayon (plus grand que $\dfrac{AB}2$) centrés en $A$ et en $B$ se coupent en deux points ; on trace la droite qui les joint.
• La bissectrice d’un angle $\widehat{xOy}$ est la demi-droite qui le partage en deux angles égaux. Ses points sont équidistants des côtés $[Ox)$ et $[Oy)$. Construction : un arc centré en $O$ coupe les côtés en $M$ et $N$ ; deux arcs de même rayon centrés en $M$ et $N$ se coupent en $P$ ; la bissectrice est $[OP)$.

Partage d’un segment en $n$ parties égales

1. On trace une demi-droite $[Ax)$ qui ne porte pas $[AB]$.
2. Au compas, on reporte sur $[Ax)$ $n$ longueurs égales : on obtient $A_1$, $A_2$, …, $A_n$.
3. On trace $(A_nB)$, puis les parallèles à $(A_nB)$ passant par $A_1$, …, $A_{n-1}$. Elles coupent $[AB]$ en $n$ parties égales.

Justification : d’après le théorème de Thalès, les parallèles conservent les rapports de longueurs. Pour partager $[AB]$ dans le rapport $\dfrac23$ (deux parts d’un côté, trois de l’autre), on reporte $5$ longueurs égales et on garde le 2e point.

Tangentes et cercles tangents

• La tangente en un point $T$ d’un cercle de centre $O$ est la perpendiculaire à $(OT)$ en $T$.
• Tangentes issues d’un point $P$ extérieur : on trace le cercle de diamètre $[OP]$ ; il coupe le cercle donné en $T$ et $T'$. Comme $\widehat{OTP}$ est inscrit dans un demi-cercle, il est droit : $(PT)$ et $(PT')$ sont les tangentes, et $PT=PT'=\sqrt{OP^2-r^2}$.
• Deux cercles de centres $O$, $O'$ et de rayons $r$, $r'$ sont tangents extérieurement si $OO'=r+r'$, et tangents intérieurement si $OO'=|r-r'|$ (avec $r\ne r'$). Le point de contact est sur la droite $(OO')$.

Droites remarquables du triangle

Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.