Triangles semblables et relations métriques

Comment mesurer la hauteur d’un palmier de Kisangani sans y grimper ? En comparant son ombre à celle d’un bâton : les deux triangles formés sont semblables. Dans un triangle rectangle, des relations métriques relient les côtés, la hauteur et les segments qu’elle détermine. Dans cette leçon, tu apprends à reconnaître des triangles semblables, à utiliser ces relations et à calculer un rapport de section.

Triangles semblables

Deux triangles $ABC$ et $A'B'C'$ sont semblables si leurs angles sont deux à deux égaux. Leurs côtés homologues (opposés aux angles égaux) sont alors proportionnels :
$$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=k\quad(k\text{ : rapport de similitude}).$$

Critères (un seul suffit) :

• AA : deux angles respectivement égaux ;
• CCC : les trois côtés respectivement proportionnels ;
• CAC : un angle égal compris entre deux côtés proportionnels.

Les aires sont dans le rapport $k^2$.

Relations métriques dans le triangle rectangle

Soit $ABC$ rectangle en $A$ et $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ (sur l’hypoténuse $[BC]$). Les triangles $ABC$, $HBA$ et $HAC$ sont semblables, d’où :

• $BC^2=AB^2+AC^2$ (Pythagore) ;
• $AB^2=BH\times BC$ et $AC^2=CH\times BC$ ;
• $AH^2=BH\times HC$ ;
• $AB\times AC=BC\times AH$ (deux calculs de l’aire).

Rapport de section

Sur une droite orientée, $\overline{AB}$ désigne la mesure algébrique de $[AB]$ : sa longueur, précédée du signe $+$ si le sens de $A$ vers $B$ est celui de l’orientation, et du signe $-$ sinon. On a $\overline{BA}=-\overline{AB}$.

Soient $A\ne B$ et un point $P$ de la droite $(AB)$, distinct de $B$. Le rapport de section de $P$ par rapport à $A$ et $B$ est
$$k=\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}.$$

• Si $P$ est entre $A$ et $B$, $\overline{PA}$ et $\overline{PB}$ sont de signes contraires : $k<0$. Pour le milieu, $k=-1$.
• Si $P$ est à l’extérieur du segment $[AB]$, $k>0$ (et $k\ne1$).
• Ce rapport ne dépend pas de l’orientation choisie, et une projection parallèle le conserve (théorème de Thalès).