Cercle trigonométrique et rapports

Un géomètre de Kolwezi mesure des angles avec un appareil réglé en grades, une élève de Matadi utilise des degrés et sa calculatrice propose aussi des radians. Pour passer d’une unité à l’autre et définir les rapports trigonométriques de n’importe quel angle, on utilise le cercle trigonométrique. Dans cette leçon, tu apprends à convertir les angles et à définir et relier sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante et cosécante.

Unités d’angle

Un tour complet mesure $360^\circ$, ou $400$ grades ($400$ gr), ou $2\pi$ radians. Pour convertir, on utilise
$$\frac{D}{180}=\frac{G}{200}=\frac{R}{\pi}$$
où $D$, $G$ et $R$ sont les mesures du même angle en degrés, en grades et en radians.

Un radian est l’angle au centre qui intercepte un arc de longueur égale au rayon ; $1$ rad $\approx57{,}3^\circ$.

Cercle trigonométrique

C’est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ dans un repère orthonormé, orienté dans le sens direct (contraire des aiguilles d’une montre). À un angle $\alpha$, on associe le point $M$ du cercle tel que l’angle de $[Ox)$ à $[OM)$ mesure $\alpha$. Par définition :
$$\cos\alpha=\text{abscisse de }M,\qquad\sin\alpha=\text{ordonnée de }M.$$

Donc $-1\le\cos\alpha\le1$ et $-1\le\sin\alpha\le1$. Les axes partagent le cercle en quatre quadrants :

Par Pythagore dans le triangle formé par $O$, $M$ et sa projection sur $(Ox)$ : $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$.

Les six rapports trigonométriques

• $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (si $\cos\alpha\ne0$) ; $\operatorname{cotg}\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ (si $\sin\alpha\ne0$).
• $\sec\alpha=\dfrac1{\cos\alpha}$ (si $\cos\alpha\ne0$) ; $\operatorname{cosec}\alpha=\dfrac1{\sin\alpha}$ (si $\sin\alpha\ne0$).
• Relations : $\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{cotg}\alpha=1$ ; $1+\operatorname{tg}^2\alpha=\sec^2\alpha=\dfrac1{\cos^2\alpha}$ ; $1+\operatorname{cotg}^2\alpha=\operatorname{cosec}^2\alpha$.

Valeurs remarquables