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🇨🇩 Espace et plan

Transformations du plan

⏱ 30 minProgramme officiel : CD-E8-GEO-04

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🎯 Dans cette leçon, tu vas apprendre à

  • Construire projections parallèles et orthogonales, symétries centrale et orthogonale, translations et dilatations.

La leçon

Introduction

Sur un tissu en pagne, un même motif est répété en glissant le long de la bande, retourné comme dans un miroir ou agrandi au centre. Chacun de ces mouvements est une transformation du plan : elle associe à chaque point MM un point image M′M'. Dans cette leçon, tu construis des projections parallèles et orthogonales, des symétries centrales et orthogonales, des translations et des dilatations, et tu calcules des coordonnées d’images dans un repère.

Explication

Projections

On se donne une droite dd (sur laquelle on projette) et une direction Δ\Delta (non parallèle à dd).

  • Projection parallèle : le projeté M′M' d’un point MM est le point où la parallèle à Δ\Delta passant par MM coupe dd.
  • Projection orthogonale : c’est le cas où Δ⊥d\Delta\perp d ; M′M' est alors le pied de la perpendiculaire à dd passant par MM.

Propriétés : une projection conserve l’alignement et le milieu : si BB est le milieu de [AC][AC], alors B′B' est le milieu de [A′C′][A'C']. En général, elle ne conserve pas les longueurs.

Explication

Symétries et translation

  • Symétrie centrale de centre II : M′M' est tel que II est le milieu de [MM′][MM'].
  • Symétrie orthogonale d’axe ℓ\ell : ℓ\ell est la médiatrice de [MM′][MM'] (si M∉ℓM\notin\ell) ; un point de ℓ\ell est sa propre image.
  • Translation de vecteur u⃗\vec{u} : on fait glisser chaque point de la même longueur, dans la même direction et le même sens.

Ces trois transformations sont des isométries : elles conservent les longueurs, les angles, l’alignement et les aires. Une figure et son image sont superposables.

Explication

Dilatation et calculs dans un repère

Une dilatation de centre OO et de rapport k>0k>0 associe à MM le point M′M' de la demi-droite [OM)[OM) tel que OM′=k×OMOM'=k\times OM. Si k>1k>1, c’est un agrandissement ; si 0<k<10<k<1, une réduction. Les longueurs sont multipliées par kk et les aires par k2k^2 ; les angles sont conservés.

Dans un repère orthonormé d’origine OO, l’image de M(x ;y)M(x\,;y) est :

TransformationImage
symétrie de centre OO(−x ;−y)(-x\,;-y)
symétrie d’axe (Ox)(Ox)(x ;−y)(x\,;-y)
symétrie d’axe (Oy)(Oy)(−x ;y)(-x\,;y)
translation de vecteur u⃗(a ;b)\vec{u}(a\,;b)(x+a ;y+b)(x+a\,;y+b)
dilatation de centre OO, rapport kk(kx ;ky)(kx\,;ky)
projection orthogonale sur (Ox)(Ox)(x ;0)(x\,;0)

Exemple résolu

Problème : Dans un repère, on donne A(3 ;−2)A(3\,;-2). Donne son image par la symétrie de centre OO, par la symétrie d’axe (Ox)(Ox), par la translation de vecteur u⃗(−4 ;5)\vec{u}(-4\,;5) et par la projection orthogonale sur (Ox)(Ox).

Étape 1 : Symétrie de centre OO : on change les deux signes, (−3 ;2)(-3\,;2).

Étape 2 : Symétrie d’axe (Ox)(Ox) : on change le signe de l’ordonnée, (3 ;2)(3\,;2).

Étape 3 : Translation : (3−4 ;−2+5)=(−1 ;3)(3-4\,;-2+5)=(-1\,;3).

Étape 4 : Projection orthogonale sur (Ox)(Ox) : (3 ;0)(3\,;0).

Réponse : (−3 ;2)(-3\,;2), (3 ;2)(3\,;2), (−1 ;3)(-1\,;3) et (3 ;0)(3\,;0).

Exemple résolu

Problème : Un triangle a des côtés de 22 cm, 33 cm et 44 cm, et une aire de 2,92{,}9 cm² environ. On lui applique une dilatation de rapport 33. Donne les côtés et l’aire de l’image.

Étape 1 : Les longueurs sont multipliées par 33 : 66 cm, 99 cm et 1212 cm.

Étape 2 : L’aire est multipliée par 32=93^2=9 : 2,9×9≈26,12{,}9\times9\approx26{,}1 cm².

Réponse : côtés 66, 99 et 1212 cm ; aire d’environ 26,126{,}1 cm², soit 99 fois plus, et non 33 fois.

Exemple résolu

Problème : Détermine les coordonnées de l’image de M(4 ;−1)M(4\,;-1) par la symétrie de centre I(1 ;2)I(1\,;2).

Étape 1 : II doit être le milieu de [MM′][MM']. Pour chaque coordonnée : xM′=2xI−xMx_{M'}=2x_I-x_M et yM′=2yI−yMy_{M'}=2y_I-y_M.

Étape 2 : xM′=2×1−4=−2x_{M'}=2\times1-4=-2 et yM′=2×2−(−1)=5y_{M'}=2\times2-(-1)=5.

Étape 3 : Vérification : le milieu de [MM′][MM'] a pour coordonnées (4+(−2)2 ;−1+52)=(1 ;2)\left(\dfrac{4+(-2)}{2}\,;\dfrac{-1+5}{2}\right)=(1\,;2), c’est bien II.

Réponse : M′(−2 ;5)M'(-2\,;5).

Attention

Erreurs fréquentes :

  • La symétrie d’axe (Ox)(Ox) change le signe de l’ordonnée yy, pas celui de l’abscisse : l’axe (Ox)(Ox) est horizontal, le point « saute » vers le haut ou vers le bas.
  • Dans une dilatation de rapport kk, l’aire est multipliée par k2k^2, pas par kk.
  • Une projection n’est pas une isométrie : la longueur projetée est souvent plus courte.

À retenir

  • Projection parallèle sur dd selon Δ\Delta ; orthogonale si Δ⊥d\Delta\perp d. Elle conserve milieux et alignement, pas les longueurs.
  • Symétrie centrale : II milieu de [MM′][MM'] ; symétrie orthogonale : l’axe est la médiatrice de [MM′][MM'].
  • Translation : même déplacement pour tous les points.
  • Symétries et translations conservent longueurs, angles et aires.
  • Dilatation de rapport kk : longueurs ×k\times k, aires ×k2\times k^2.

✍️ Exercices

Réponds à un exercice à la fois. Ta réponse est corrigée aussitôt, avec une explication.

Exercice 1 sur 10

★ Facile

Dans un repère, quelle est l’image du point A(2 ;5)A(2\,;5) par la symétrie d’axe (Ox)(Ox) ?

Ta réponse