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🇨🇩 Espace et plan

Triangles, parallélogrammes et cercles

⏱ 30 minProgramme officiel : CD-E8-GEO-03

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🎯 Dans cette leçon, tu vas apprendre à

  • Classer triangles et parallélogrammes.
  • Étudier positions droite-cercle et cercle-cercle, cercles inscrit et circonscrit, angle au centre et angle inscrit.

La leçon

Introduction

Un menuisier de Goma découpe une table ronde dans une planche triangulaire : quel est le plus grand cercle possible à l’intérieur du triangle ? Une élève trace un terrain de jeu rectangulaire et veut un cercle qui passe par ses quatre coins. Dans cette leçon, tu classes triangles et parallélogrammes, tu étudies les positions d’une droite et d’un cercle, puis de deux cercles, tu construis les cercles inscrit et circonscrit et tu utilises l’angle au centre et l’angle inscrit.

Explication

Classer triangles et parallélogrammes

Triangles (la somme des angles vaut 180∘180^\circ) :

  • selon les côtés : scalène (trois côtés différents), isocèle (deux côtés égaux, donc deux angles égaux), équilatéral (trois côtés égaux, trois angles de 60∘60^\circ) ;
  • selon les angles : acutangle (trois angles aigus), rectangle (un angle droit), obtusangle (un angle obtus).

Parallélogrammes (côtés opposés parallèles ; diagonales de même milieu) :

  • rectangle : un angle droit ; diagonales de même longueur ;
  • losange : quatre côtés égaux ; diagonales perpendiculaires ;
  • carré : à la fois rectangle et losange.

Explication

Positions relatives

Soit un cercle de centre OO et de rayon rr, et dd la distance de OO à une droite Δ\Delta.

  • d>rd>r : la droite est extérieure au cercle (aucun point commun).
  • d=rd=r : la droite est tangente au cercle (un point commun) ; elle est perpendiculaire au rayon en ce point.
  • d<rd<r : la droite est sécante (deux points communs).

Deux cercles de rayons r≥r′r\ge r' et de centres distants de dd :

ConditionPositionPoints communs
d>r+r′d>r+r'extérieurs00
d=r+r′d=r+r'tangents extérieurement11
r−r′<d<r+r′r-r'<d<r+r'sécants22
d=r−r′d=r-r' (avec r≠r′r\ne r')tangents intérieurement11
d<r−r′d<r-r'l’un intérieur à l’autre00

Explication

Cercles inscrit et circonscrit, angles

  • Le cercle circonscrit à un triangle passe par ses trois sommets. Son centre est le point de concours des médiatrices des côtés.
  • Le cercle inscrit est tangent aux trois côtés. Son centre est le point de concours des bissectrices des angles.

Dans un cercle de centre OO, un angle au centre a son sommet en OO ; un angle inscrit a son sommet sur le cercle. S’ils interceptent le même arc :
angle inscrit=12×angle au centre\text{angle inscrit}=\dfrac{1}{2}\times\text{angle au centre}
Conséquences : deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux ; un angle inscrit dans un demi-cercle est droit.

Exemple résolu

Problème : Un triangle a deux angles de 35∘35^\circ et 55∘55^\circ. Quelle est sa nature ? Où est le centre de son cercle circonscrit ?

Étape 1 : Troisième angle : 180∘−35∘−55∘=90∘180^\circ-35^\circ-55^\circ=90^\circ. Le triangle est rectangle.

Étape 2 : Ses trois angles sont différents, donc ses côtés aussi : il est scalène.

Étape 3 : L’angle droit est inscrit dans le cercle circonscrit ; il intercepte donc un demi-cercle. L’hypoténuse est un diamètre.

Réponse : triangle rectangle scalène ; le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.

Exemple résolu

Problème : Deux cercles ont pour rayons 55 cm et 33 cm. Quelle est leur position si leurs centres sont distants de 77 cm ? de 88 cm ? de 22 cm ?

Étape 1 : On calcule r+r′=8r+r'=8 et r−r′=2r-r'=2.

Étape 2 : d=7d=7 : 2<7<82<7<8, les cercles sont sécants.

Étape 3 : d=8=r+r′d=8=r+r' : tangents extérieurement. d=2=r−r′d=2=r-r' : tangents intérieurement.

Réponse : sécants, tangents extérieurement, tangents intérieurement.

Exemple résolu

Problème : Sur un cercle de centre OO, les points AA, BB et CC sont tels que AOB^=110∘\widehat{AOB}=110^\circ et que CC n’est pas sur le petit arc ABAB. Calcule ACB^\widehat{ACB}.

Étape 1 : ACB^\widehat{ACB} est un angle inscrit qui intercepte le même arc ABAB que l’angle au centre AOB^\widehat{AOB}.

Étape 2 : ACB^=110∘2=55∘\widehat{ACB}=\dfrac{110^\circ}{2}=55^\circ.

Réponse : ACB^=55∘\widehat{ACB}=55^\circ.

Attention

Erreurs fréquentes :

  • L’angle inscrit est la moitié de l’angle au centre, pas le double. Pour vérifier, pense au demi-cercle : l’angle au centre vaut 180∘180^\circ et l’angle inscrit 90∘90^\circ.
  • Pour la position de deux cercles, compare dd à la somme et à la différence des rayons ; regarder seulement la somme ne suffit pas.
  • Médiatrices pour le cercle circonscrit, bissectrices pour le cercle inscrit : ne les échange pas.

À retenir

  • Triangles : scalène, isocèle, équilatéral ; acutangle, rectangle, obtusangle.
  • Rectangle : diagonales égales ; losange : diagonales perpendiculaires ; carré : les deux.
  • Droite et cercle : comparer la distance du centre à la droite avec rr.
  • Deux cercles : comparer dd avec r+r′r+r' et r−r′r-r'.
  • Centre du cercle circonscrit : médiatrices ; du cercle inscrit : bissectrices.
  • Angle inscrit =12=\dfrac{1}{2} angle au centre (même arc) ; angle inscrit dans un demi-cercle : 90∘90^\circ.

✍️ Exercices

Réponds à un exercice à la fois. Ta réponse est corrigée aussitôt, avec une explication.

Exercice 1 sur 10

★ Facile

Un triangle a des angles de 40∘40^\circ, 70∘70^\circ et 70∘70^\circ. Quelle est sa nature ?

Ta réponse