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🇨🇩 Organisation et gestion des données

Effectifs, diagrammes et moyennes

⏱ 30 minProgramme officiel : CD-E8-STA-01

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🎯 Dans cette leçon, tu vas apprendre à

  • Définir population, caractère, fréquence et mode.
  • Construire diagrammes en bâtons, en bandes (histogrammes) et circulaires ; calculer moyennes simple et pondérée.

La leçon

Introduction

Le comité des élèves d’une école de Bukavu veut savoir comment les élèves viennent à l’école, combien de temps dure leur trajet et quelles notes ils ont obtenues au dernier devoir. Pour répondre, il faut organiser les données : les compter, les ranger dans un tableau, les représenter par un diagramme et calculer une moyenne. Dans cette leçon, tu apprends le vocabulaire de la statistique, tu construis des diagrammes en bâtons, en bandes et circulaires, et tu calcules des moyennes simples et pondérées.

Explication

Vocabulaire

  • Population : l’ensemble étudié (les élèves de l’école) ; chaque élément est un individu.
  • Caractère : ce que l’on observe. Il est qualitatif (moyen de transport) ou quantitatif (note, durée). Un caractère quantitatif est discret s’il prend des valeurs isolées (nombre de frères et sœurs), continu s’il peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle (taille) ; on regroupe alors les valeurs en classes, comme [20 ;30[[20\,;30[.
  • Effectif d’une valeur : nombre d’individus qui ont cette valeur. Effectif total NN : somme des effectifs.
  • Fréquence : f=effectifNf=\dfrac{\text{effectif}}{N}, écrite en fraction, en décimal ou en pourcentage.
  • Mode : la valeur qui a le plus grand effectif (pour des classes, on parle de classe modale).

Explication

Diagrammes

  • Diagramme en bâtons : pour un caractère discret. Sur l’axe horizontal, les valeurs ; chaque valeur porte un bâton dont la hauteur est proportionnelle à son effectif.
  • Diagramme en bandes (histogramme) : pour des classes. Chaque classe est représentée par un rectangle posé sur l’intervalle ; les rectangles sont accolés. Quand les classes ont la même amplitude, la hauteur est proportionnelle à l’effectif.
  • Diagramme circulaire : pour montrer la part de chaque modalité dans le total. L’angle de chaque secteur est proportionnel à l’effectif :
    angle=f×360∘=effectifN×360∘\text{angle}=f\times360^\circ=\dfrac{\text{effectif}}{N}\times360^\circ

Explication

Moyennes

  • Moyenne simple de nn valeurs : xˉ=x1+x2+⋯+xnn\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}.
  • Moyenne pondérée : quand la valeur xix_i a l’effectif (ou le coefficient) nin_i,
    xˉ=n1x1+n2x2+⋯+npxpn1+n2+⋯+np\bar{x}=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\dots+n_px_p}{n_1+n_2+\dots+n_p}
  • Données en classes : on remplace chaque classe par son centre, par exemple 2525 pour [20 ;30[[20\,;30[, puis on calcule une moyenne pondérée. Le résultat est une valeur approchée de la moyenne.

Exemple résolu

Problème : Voici les notes sur 1010 de 2525 élèves à une interrogation.

Note4455667788
Effectif2255886644

Trouve la fréquence de la note 66, le mode et la moyenne.

Étape 1 : N=2+5+8+6+4=25N=2+5+8+6+4=25. Fréquence de 66 : 825=0,32=32 %\dfrac{8}{25}=0{,}32=32\,\%.

Étape 2 : Le plus grand effectif est 88 : le mode est 66.

Étape 3 : xˉ=2×4+5×5+8×6+6×7+4×825=8+25+48+42+3225=15525=6,2\bar{x}=\dfrac{2\times4+5\times5+8\times6+6\times7+4\times8}{25}=\dfrac{8+25+48+42+32}{25}=\dfrac{155}{25}=6{,}2.

Réponse : fréquence 32 %32\,\%, mode 66, moyenne 6,26{,}2 sur 1010.

Exemple résolu

Problème : Sur 4040 élèves, 2222 viennent à pied, 66 à vélo, 88 en taxi-moto et 44 en bus. Calcule les angles du diagramme circulaire.

Étape 1 : À pied : 2240×360∘=198∘\dfrac{22}{40}\times360^\circ=198^\circ.

Étape 2 : Vélo : 640×360∘=54∘\dfrac{6}{40}\times360^\circ=54^\circ ; taxi-moto : 840×360∘=72∘\dfrac{8}{40}\times360^\circ=72^\circ ; bus : 440×360∘=36∘\dfrac{4}{40}\times360^\circ=36^\circ.

Étape 3 : Vérification : 198+54+72+36=360198+54+72+36=360.

Réponse : 198∘198^\circ, 54∘54^\circ, 72∘72^\circ et 36∘36^\circ.

Exemple résolu

Problème : Au jardin scolaire, on mesure 2020 plants de haricots (en cm). Calcule la moyenne et donne la classe modale.

Classe[10 ;20[[10\,;20[[20 ;30[[20\,;30[[30 ;40[[30\,;40[
Effectif449977

Étape 1 : Centres des classes : 1515, 2525 et 3535.

Étape 2 : xˉ=4×15+9×25+7×3520=60+225+24520=53020=26,5\bar{x}=\dfrac{4\times15+9\times25+7\times35}{20}=\dfrac{60+225+245}{20}=\dfrac{530}{20}=26{,}5 cm.

Étape 3 : Le plus grand effectif est 99 : la classe modale est [20 ;30[[20\,;30[.

Réponse : moyenne d’environ 26,526{,}5 cm ; classe modale [20 ;30[[20\,;30[.

Attention

Erreurs fréquentes :

  • Dans une moyenne pondérée, on divise par la somme des effectifs (ou des coefficients), pas par le nombre de valeurs différentes. Dans l’exemple des notes, diviser 155155 par 55 donnerait 3131, ce qui est impossible pour une note sur 1010.
  • Le mode est une valeur du caractère, pas un effectif : dans l’exemple, le mode est 66, pas 88.

À retenir

  • Population, individu, caractère (qualitatif ou quantitatif, discret ou continu), effectif, fréquence =effectifN=\dfrac{\text{effectif}}{N}.
  • Mode : valeur (ou classe) de plus grand effectif.
  • Bâtons pour un caractère discret, histogramme pour des classes, diagramme circulaire pour des parts : angle =f×360∘=f\times360^\circ.
  • Moyenne pondérée : ∑nixi∑ni\dfrac{\sum n_ix_i}{\sum n_i} ; pour des classes, utiliser les centres.

✍️ Exercices

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Exercice 1 sur 10

★ Facile

Lequel de ces caractères est quantitatif ?

Ta réponse