Lieux géométriques et coniques

Les antennes paraboliques qu’on voit sur les toits de Goma, la trajectoire d’un ballon lancé en l’air, l’orbite de la Terre autour du Soleil : toutes ces formes sont des coniques (parabole, ellipse, hyperbole). On les obtient comme lieux géométriques : l’ensemble des points qui vérifient une même condition de distance. Cette leçon apprend à trouver un lieu, puis à étudier les éléments d’une conique.

Lieux géométriques

Un lieu géométrique est l’ensemble des points $M$ qui vérifient une propriété donnée. Méthode analytique : on pose $M(x\,;\,y)$, on traduit la propriété en équation, on la simplifie, puis on reconnaît la figure (droite, cercle, conique) et on vérifie que tous ses points conviennent.

Exemples classiques :

• $MA=MB$ : la médiatrice de $[AB]$ ;
• $MA=k\,MB$ avec $k>0$, $k\ne1$ : un cercle ;
• distance de $M$ à un point $F$ égale à $e$ fois sa distance à une droite $D$ : une conique de foyer $F$, de directrice $D$ et d’excentricité $e$. Si $e<1$, c’est une ellipse ; si $e=1$, une parabole ; si $e>1$, une hyperbole.

Équations réduites (repère orthonormé)

L’ellipse et l’hyperbole ont un centre de symétrie, l’origine $O$. Pour l’ellipse, $MF+MF'=2a$ ; pour l’hyperbole, $|MF-MF'|=2a$.

Tangente, normale, pôle et polaire

La tangente en un point $M_0(x_0\,;\,y_0)$ de la conique s’obtient par « dédoublement » : on remplace $x^2$ par $xx_0$, $y^2$ par $yy_0$ et $2x$ par $x+x_0$.

• Ellipse : $\dfrac{xx_0}{a^2}+\dfrac{yy_0}{b^2}=1$ ; hyperbole : $\dfrac{xx_0}{a^2}-\dfrac{yy_0}{b^2}=1$ ; parabole : $yy_0=p(x+x_0)$.

La normale en $M_0$ est la perpendiculaire à la tangente passant par $M_0$.

Pour un point $P(x_0\,;\,y_0)$ quelconque, la même équation définit la polaire de $P$ (son pôle). Si $P$ est sur la conique, sa polaire est la tangente en $P$. Si $P$ est extérieur, sa polaire passe par les points de contact des deux tangentes menées de $P$.