Probabilités et loi binomiale

Une agronome de Yangambi sème des graines de maïs améliorées : chaque graine a une certaine chance de germer. Sur cinq graines, quelle est la probabilité qu’au moins quatre germent ? Ce type de question, où l’on répète la même épreuve à deux issues, se traite avec la loi binomiale. Nous verrons aussi comment mesurer la dispersion d’une série de données : étendue, variance et écart-type.

Probabilités : rappels

Pour une expérience aléatoire d’univers $\Omega$ :

• $0\le P(A)\le1$, $P(\Omega)=1$ ; événement contraire : $P(\bar A)=1-P(A)$ ;
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ;
• en cas d’équiprobabilité : $P(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$, souvent calculés avec les combinaisons $C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}$ ;
• $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$.

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque issue. Si $X$ prend les valeurs $x_i$ avec les probabilités $p_i$ : espérance $E(X)=\sum p_ix_i$, variance $V(X)=\sum p_ix_i^2-E(X)^2$, écart-type $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

Épreuve de Bernoulli et loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : « succès », de probabilité $p$, et « échec », de probabilité $q=1-p$.

On répète $n$ fois la même épreuve de Bernoulli, de façon indépendante, et on note $X$ le nombre de succès. $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ :
$$P(X=k)=C_n^k\,p^k\,(1-p)^{n-k},\qquad k=0{,}1,\dots,n.$$
$C_n^k$ compte les façons de placer les $k$ succès parmi les $n$ essais. De plus :
$$E(X)=np,\qquad V(X)=np(1-p),\qquad\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.$$
Pour « au moins un succès », on passe par le contraire : $P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n$.

Dispersion d’une série statistique

Pour une série de valeurs $x_1,\dots,x_n$ de moyenne $\bar x$ :

• étendue : plus grande valeur moins plus petite valeur ;
• variance : $V=\dfrac1n\sum(x_i-\bar x)^2=\dfrac1n\sum x_i^2-\bar x^2$ ;
• écart-type : $\sigma=\sqrt V$, exprimé dans la même unité que les données.

Plus l’écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne. Avec des effectifs $n_i$, on pondère : $V=\dfrac1N\sum n_i(x_i-\bar x)^2$ où $N=\sum n_i$.