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🇨🇩 Algèbre et analyse

Primitives et intégrales

⏱ 30 minProgramme officiel : CD-H4-ANA-03

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🎯 Dans cette leçon, tu vas apprendre à

  • Calculer des primitives par diverses méthodes et des intégrales définies.
  • Appliquer l’intégrale au calcul d’aires et de volumes.

La leçon

Introduction

Un agriculteur de la plaine de la Ruzizi veut connaître l’aire exacte d’un champ bordé d’un côté par une rivière qui fait une courbe. Un potier veut calculer le volume d’une jarre arrondie. Ces calculs utilisent l’intégrale, qui additionne une infinité de tranches très fines. Pour la calculer, on cherche une primitive, c’est-à-dire une fonction dont la dérivée est la fonction donnée.

Explication

Primitives

FF est une primitive de ff sur un intervalle II si F′=fF'=f sur II. Les autres primitives sont les fonctions F+CF+C, CC constante réelle.

Fonction ffPrimitive FF
xnx^n (n≠−1n\ne-1)xn+1n+1\dfrac{x^{n+1}}{n+1}
1x\dfrac1x (x>0x>0)ln⁡x\ln x
exe^xexe^x
cos⁡x\cos x ; sin⁡x\sin xsin⁡x\sin x ; −cos⁡x-\cos x
u′unu'u^n (n≠−1n\ne-1)un+1n+1\dfrac{u^{n+1}}{n+1}
u′u\dfrac{u'}{u} (u>0u>0)ln⁡u\ln u
u′euu'e^ueue^u

Une primitive d’une somme est la somme des primitives ; une constante multiplicative se garde : ∫kf=k∫f\int kf=k\int f.

Explication

Intégrale définie et méthodes

Si FF est une primitive de ff continue sur [a ; b][a\,;\,b] :
∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a).\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a).
Propriétés : linéarité ; relation de Chasles ∫abf=∫acf+∫cbf\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f ; si f≥0f\ge0 sur [a ; b][a\,;\,b] (avec a<ba<b), alors ∫abf≥0\int_a^b f\ge0.

Changement de variable : on reconnaît une forme u′ g(u)u'\,g(u), par exemple ∫2x ex2dx=ex2+C\int 2x\,e^{x^2}\mathrm{d}x=e^{x^2}+C.

Intégration par parties :
∫abu v′ dx=[u v]ab−∫abu′ v dx.\int_a^b u\,v'\,\mathrm{d}x=\big[u\,v\big]_a^b-\int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}x.
On choisit pour uu la partie qui se simplifie en la dérivant (un polynôme, ln⁡x\ln x…).

Explication

Aires et volumes

  • Si f≥0f\ge0 sur [a ; b][a\,;\,b], l’aire du domaine limité par la courbe, l’axe des abscisses et les droites x=ax=a, x=bx=b vaut ∫abf(x) dx\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x (en unités d’aire).
  • Si f≥gf\ge g sur [a ; b][a\,;\,b], l’aire entre les deux courbes vaut ∫ab(f(x)−g(x)) dx\displaystyle\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x.
  • Si ff change de signe, on découpe l’intervalle et on prend la valeur absolue de chaque morceau.
  • Volume de révolution : en faisant tourner la courbe de ff autour de l’axe des abscisses sur [a ; b][a\,;\,b], on obtient un solide de volume
    V=π∫abf(x)2 dx.V=\pi\int_a^b f(x)^2\,\mathrm{d}x.

Exemple résolu

Problème : Calcule I=∫02(3x2−2x+1) dxI=\displaystyle\int_0^2(3x^2-2x+1)\,\mathrm{d}x et J=∫01xex dxJ=\displaystyle\int_0^1xe^x\,\mathrm{d}x.

Étape 1 : Une primitive de 3x2−2x+13x^2-2x+1 est x3−x2+xx^3-x^2+x, donc I=(8−4+2)−0=6I=(8-4+2)-0=6.

Étape 2 : Pour JJ, par parties avec u=xu=x, v′=exv'=e^x : u′=1u'=1, v=exv=e^x.

Étape 3 : J=[xex]01−∫01ex dx=e−[ex]01=e−(e−1)=1J=\big[xe^x\big]_0^1-\displaystyle\int_0^1e^x\,\mathrm{d}x=e-\big[e^x\big]_0^1=e-(e-1)=1.

Réponse : I=6I=6 et J=1J=1.

Exemple résolu

Problème : Calcule l’aire comprise entre les courbes y=xy=x et y=x2y=x^2 sur [0 ; 1][0\,;\,1].

Étape 1 : Sur [0 ; 1][0\,;\,1], x≥x2x\ge x^2 (par exemple 0,5≥0,250{,}5\ge0{,}25).

Étape 2 : A=∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^1(x-x^2)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1.

Étape 3 : A=12−13=16\mathcal{A}=\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16.

Réponse : 16\dfrac16 unité d’aire.

Exemple résolu

Problème : On fait tourner autour de l’axe des abscisses la courbe de f(x)=xf(x)=\sqrt x sur [0 ; 4][0\,;\,4] (unité : le décimètre). Calcule le volume du solide obtenu, en forme de bol.

Étape 1 : f(x)2=xf(x)^2=x.

Étape 2 : V=π∫04x dx=π[x22]04=π×8V=\pi\displaystyle\int_0^4x\,\mathrm{d}x=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=\pi\times8.

Réponse : V=8π≈25,13V=8\pi\approx25{,}13 dm³, soit environ 2525 litres.

Attention

Attention : Une intégrale n’est pas toujours une aire : si ff est négative sur une partie de l’intervalle, cette partie compte négativement. Par exemple ∫02πsin⁡x dx=0\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin x\,\mathrm{d}x=0, alors que l’aire entre la courbe et l’axe vaut 44. Et n’oublie pas de calculer F(b)−F(a)F(b)-F(a) dans cet ordre, en évaluant aussi F(a)F(a), même quand a=0a=0 : [ex]01=e−1\big[e^x\big]_0^1=e-1, pas ee.

À retenir

  • F′=fF'=f ; primitives de xnx^n, 1x\dfrac1x, exe^x, cos⁡x\cos x, sin⁡x\sin x, u′unu'u^n, u′u\dfrac{u'}u, u′euu'e^u.
  • ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a).
  • Par parties : ∫abuv′=[uv]ab−∫abu′v\displaystyle\int_a^buv'=\big[uv\big]_a^b-\int_a^bu'v.
  • Aire entre deux courbes : ∫ab(f−g)\displaystyle\int_a^b(f-g) avec f≥gf\ge g.
  • Volume de révolution : V=π∫abf(x)2 dxV=\pi\displaystyle\int_a^bf(x)^2\,\mathrm{d}x.

✍️ Exercices

Réponds à un exercice à la fois. Ta réponse est corrigée aussitôt, avec une explication.

Exercice 1 sur 9

★ Facile

Quelle est une primitive de f(x)=6x2−4x+1f(x)=6x^2-4x+1 sur R\mathbb{R} ?

Ta réponse