Similitudes et géométrie analytique de l’espace

Sur le plan à l’échelle d’un quartier de Kinshasa, chaque carrefour est l’image de sa position réelle par une transformation qui réduit toutes les distances dans le même rapport : c’est une similitude. Dans l’espace, les ingénieurs qui posent une ligne électrique ou un pont décrivent les câbles par des droites et les toits ou les talus par des plans. Cette leçon étudie les similitudes planes, puis les équations de plans et de droites de l’espace.

Similitudes planes

Une similitude de rapport $k>0$ est une transformation du plan qui multiplie toutes les distances par $k$ : $M'N'=k\,MN$. Elle conserve les angles géométriques, l’alignement et le parallélisme ; elle multiplie les aires par $k^2$.

Dans le plan identifié à $\mathbb{C}$, toute similitude directe s’écrit $z'=az+b$ avec $a\ne0$ :

• son rapport est $k=|a|$ et son angle est $\theta=\arg a$ ;
• si $a\ne1$, elle a un unique point fixe, le centre $\omega=\dfrac{b}{1-a}$, et $z'-\omega=a(z-\omega)$ : c’est la composée de la rotation de centre $\omega$ et d’angle $\theta$ et de l’homothétie de centre $\omega$ et de rapport $k$ ;
• si $a=1$, c’est une translation.

Une similitude indirecte s’écrit $z'=a\bar z+b$ : elle inverse le sens des angles orientés.

Plans de l’espace (repère orthonormé)

Un plan a une équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$, avec $(a\,;\,b\,;\,c)\ne(0\,;\,0\,;\,0)$ ; le vecteur $\vec n(a\,;\,b\,;\,c)$ lui est normal (orthogonal).

• Plan passant par $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ et de vecteur normal $\vec n$ : $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$.
• Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
• Distance d’un point $M_0(x_0\,;\,y_0\,;\,z_0)$ au plan : $d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
• Plan coupant les axes en $(p\,;\,0\,;\,0)$, $(0\,;\,q\,;\,0)$, $(0\,;\,0\,;\,s)$ (non nuls) : $\dfrac xp+\dfrac yq+\dfrac zs=1$.

Droites de l’espace

La droite passant par $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ et de vecteur directeur $\vec u(\alpha\,;\,\beta\,;\,\gamma)$ a pour représentation paramétrique
$$\begin{cases}x=x_A+\alpha t\\y=y_A+\beta t\\z=z_A+\gamma t\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.$$
Si $\alpha\beta\gamma\ne0$, on en tire les équations cartésiennes $\dfrac{x-x_A}{\alpha}=\dfrac{y-y_A}{\beta}=\dfrac{z-z_A}{\gamma}$ ; une droite est aussi l’intersection de deux plans sécants.

Droite et plan : on remplace $x$, $y$, $z$ par leurs expressions en $t$ dans l’équation du plan. Une solution unique en $t$ donne le point d’intersection ; aucune solution signifie que la droite est parallèle au plan ; une infinité, qu’elle est contenue dans le plan. La droite est perpendiculaire au plan si $\vec u$ est colinéaire à $\vec n$.