Géométrie descriptive : rabattement et rotation

Le charpentier qui découpe les chevrons d’un toit en pente à Bandundu a besoin de leur vraie longueur, et celui qui taille une plaque triangulaire pour ce toit a besoin de sa vraie forme. Or, sur les deux vues d’une épure, une droite ou une figure inclinée paraît raccourcie. Les rotations, les rabattements et les relèvements sont les constructions qui permettent d’obtenir ces vraies grandeurs.

Vraie grandeur d’un segment

Dans une épure, la projection horizontale $ab$ d’un segment $AB$ est plus courte que $AB$, sauf si $AB$ est horizontal. Le segment, sa projection et la différence de cotes $\Delta z$ forment un triangle rectangle, d’où
$$AB=\sqrt{(ab)^2+(\Delta z)^2}.$$
L’angle $\alpha$ de la droite $(AB)$ avec le plan horizontal vérifie $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\Delta z}{ab}$ et $\cos\alpha=\dfrac{ab}{AB}$. On a de même $AB=\sqrt{(a'b')^2+(\Delta y)^2}$ avec la projection frontale et la différence d’éloignements $\Delta y$.

Rotation autour d’un axe vertical

On fait tourner un point $M$ autour d’un axe vertical $(V)$, dont la projection horizontale est un point $v$ :

• la cote de $M$ ne change pas ;
• la projection horizontale $m$ décrit un arc de cercle de centre $v$ ;
• la projection frontale $m'$ se déplace sur une parallèle à la charnière $ch$.

Usage : on fait tourner une droite $(AB)$, avec $A$ sur l’axe, jusqu’à ce que sa projection horizontale soit parallèle à $ch$. La droite est alors frontale : sa projection frontale montre la vraie longueur $AB$ et l’angle $\alpha$ avec le plan horizontal. Une rotation autour d’un axe debout (perpendiculaire au plan frontal) conserve de même les éloignements.

Rabattement et relèvement d’un plan

Rabattre un plan $P$ sur le plan horizontal, c’est le faire tourner autour de sa trace horizontale $h_P$ (la charnière du rabattement) jusqu’à ce qu’il soit couché sur $\pi$. Les figures de $P$ apparaissent alors en vraie grandeur.

Construction d’un point $M$ de $P$, de cote $z$ : soit $o$ le pied de la perpendiculaire menée de $m$ à $h_P$, et $d=om$.

• Dans l’espace, la distance de $M$ à la charnière est l’hypoténuse du triangle de rabattement : $\sqrt{d^2+z^2}$.
• Le point rabattu $M_0$ est sur la droite $(om)$, perpendiculaire à $h_P$, à la distance $\sqrt{d^2+z^2}$ de $o$.
• Les points de la charnière restent fixes.

Le relèvement est l’opération inverse : à partir de $M_0$, on retrouve $m$ sur la perpendiculaire à $h_P$ menée par $M_0$, puis $m'$ par la ligne de rappel. Si $P$ fait un angle $\alpha$ avec $\pi$, l’aire $\mathcal{A}$ d’une figure de $P$ et l’aire $\mathcal{A}_h$ de sa projection horizontale vérifient $\mathcal{A}_h=\mathcal{A}\cos\alpha$.