Vecteurs de l’espace, matrices et déterminants

Un menuisier de Kikwit fabrique la charpente d’un toit : pour vérifier qu’une poutre est perpendiculaire à une autre, il peut mesurer… ou calculer avec des vecteurs de l’espace. Les ingénieurs organisent aussi leurs données en tableaux de nombres, les matrices, et un nombre unique, le déterminant, dit si un système d’équations a une solution unique. Cette leçon présente ces trois outils.

Produit scalaire dans l’espace

Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec i,\vec j,\vec k)$, soient $\vec u(x\,;\,y\,;\,z)$ et $\vec v(x'\,;\,y'\,;\,z')$.

• Produit scalaire : $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$.
• Norme : $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
• $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta$, où $\theta$ est l’angle des deux vecteurs, donc $\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}$.
• $\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0$.
• Pour $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B\,;\,z_B)$ : $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,;\,z_B-z_A)$.

Matrices

Une matrice $m\times n$ est un tableau de $m$ lignes et $n$ colonnes. On additionne deux matrices de même format terme à terme ; on multiplie une matrice par un réel en multipliant chaque terme.

Produit : $AB$ existe si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$. Le terme ligne $i$, colonne $j$ de $AB$ est le produit scalaire de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ :
$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}$$
En général $AB\ne BA$ : le produit n’est pas commutatif. La matrice unité $I$ (des $1$ sur la diagonale, des $0$ ailleurs) vérifie $AI=IA=A$.

Déterminants

• Ordre $2$ : $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$.
• Ordre $3$ (développement selon la première ligne) :
  $$\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}=a_1\begin{vmatrix}b_2&c_2\\b_3&c_3\end{vmatrix}-b_1\begin{vmatrix}a_2&c_2\\a_3&c_3\end{vmatrix}+c_1\begin{vmatrix}a_2&b_2\\a_3&b_3\end{vmatrix}$$
  On peut aussi utiliser la règle de Sarrus (ordre $3$ seulement).

Une matrice carrée $A$ est inversible si et seulement si $\det A\ne0$. Pour l’ordre $2$ : $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$. Un système linéaire de matrice $A$ a une solution unique si et seulement si $\det A\ne0$.