Géométrie analytique plane

Sur le plan cadastral d’un quartier de Kolwezi, chaque borne a des coordonnées. Les géomètres y tracent des routes rectilignes et des ronds-points circulaires, et doivent savoir si une route touche, coupe ou évite un rond-point. La géométrie analytique traduit ces questions en calculs : équations de droites, de cercles et positions relatives.

Points et droites (repère orthonormé)

Pour $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ :

• distance : $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ ; milieu : $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ ;
• coefficient directeur (pente) de $(AB)$, si $x_A\ne x_B$ : $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

Une droite a une équation $y=mx+p$ (ou $x=k$ si elle est verticale), ou plus généralement $ax+by+c=0$, de vecteur normal $\vec n(a\,;\,b)$ et de vecteur directeur $\vec u(-b\,;\,a)$.

• Droites parallèles : même pente $m=m'$.
• Droites perpendiculaires : $mm'=-1$.
• Distance d’un point $M_0(x_0\,;\,y_0)$ à la droite $ax+by+c=0$ : $d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Cercles

Le cercle de centre $\Omega(a\,;\,b)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. Développée : $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ avec $c=a^2+b^2-r^2$. Pour retrouver centre et rayon, on complète les carrés.

Positions relatives

• Droite et cercle : soit $d$ la distance du centre à la droite. Si $d<r$, ils sont sécants (deux points) ; si $d=r$, la droite est tangente ; si $d>r$, ils n’ont aucun point commun.
• Deux cercles de rayons $r$ et $r'$, de centres distants de $d$ :

Pour trouver les points d’intersection, on résout le système formé par les deux équations.