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🇨🇩 Analyse

Dérivées et étude de fonctions

⏱ 30 minProgramme officiel : CD-H3-ANA-02

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🎯 Dans cette leçon, tu vas apprendre à

  • Calculer des dérivées, utiliser la dérivée seconde et étudier complètement une fonction numérique.
  • Résoudre des problèmes d’optimisation.

La leçon

Introduction

À Matadi, un ferblantier découpe des carrés aux coins d’une tôle pour plier une boîte : quelle taille de découpe donne le plus grand volume ? Pour répondre, il faut savoir où une fonction croît, où elle décroît et où elle atteint son maximum. La dérivée est l’outil qui donne ces informations ; elle permet aussi l’étude complète d’une fonction et le tracé précis de sa courbe.

Explication

Dérivée et règles de calcul

Le nombre dérivé f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} est la pente de la tangente au point d’abscisse aa. La tangente a pour équation y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a).

FonctionDérivée
xnx^nnxn−1nx^{n-1}
u+vu+v ; kukuu′+v′u'+v' ; ku′ku'
uvuvu′v+uv′u'v+uv'
uv\dfrac uvu′v−uv′v2\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
unu^nnu′un−1nu'u^{n-1}
u\sqrt uu′2u\dfrac{u'}{2\sqrt u}
sin⁡u\sin u ; cos⁡u\cos uu′cos⁡uu'\cos u ; −u′sin⁡u-u'\sin u

Explication

Variations, extremums, concavité

Sur un intervalle II :

  • si f′(x)>0f'(x)>0 sur II (sauf en des points isolés), ff est strictement croissante ; si f′(x)<0f'(x)<0, elle est strictement décroissante ;
  • si f′f' s’annule en aa en changeant de signe, ff admet un extremum local en aa (maximum si f′f' passe de ++ à −-, minimum si f′f' passe de −- à ++).

La dérivée seconde f′′f'' renseigne sur la concavité : si f′′>0f''>0, la courbe tourne sa concavité vers le haut ; si f′′<0f''<0, vers le bas. Un point d’inflexion est un point où f′′f'' s’annule en changeant de signe : la courbe y traverse sa tangente.

Explication

Étude complète d’une fonction

  1. Domaine ; parité, périodicité éventuelles.
  2. Limites aux bornes du domaine et asymptotes.
  3. Dérivée, signe de f′f', tableau de variation.
  4. Dérivée seconde, concavité, points d’inflexion.
  5. Points particuliers (intersections avec les axes), tangentes utiles, puis tracé.

Optimisation : on exprime la grandeur à optimiser en fonction d’une seule variable, on précise l’intervalle des valeurs possibles, puis on cherche le maximum ou le minimum avec le tableau de variation.

Exemple résolu

Problème : Étudie les variations de f(x)=x3−3x2−9x+5f(x)=x^3-3x^2-9x+5 et trouve son point d’inflexion.

Étape 1 : f′(x)=3x2−6x−9=3(x2−2x−3)=3(x+1)(x−3)f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3).

Étape 2 : f′>0f'>0 sur ]−∞ ; −1[]-\infty\,;\,-1[ et sur ]3 ; +∞[]3\,;\,+\infty[ ; f′<0f'<0 sur ]−1 ; 3[]-1\,;\,3[.

Étape 3 : Maximum local f(−1)=−1−3+9+5=10f(-1)=-1-3+9+5=10 ; minimum local f(3)=27−27−27+5=−22f(3)=27-27-27+5=-22.

Étape 4 : f′′(x)=6x−6f''(x)=6x-6 s’annule en x=1x=1 en changeant de signe ; f(1)=1−3−9+5=−6f(1)=1-3-9+5=-6.

Réponse : ff croît, puis décroît sur [−1 ; 3][-1\,;\,3], puis croît ; maximum 1010, minimum −22-22 ; point d’inflexion I(1 ; −6)I(1\,;\,-6).

Exemple résolu

Problème : Trouve l’équation de la tangente à la courbe de g(x)=2x+1x−1g(x)=\dfrac{2x+1}{x-1} au point d’abscisse 22.

Étape 1 : g′(x)=2(x−1)−(2x+1)⋅1(x−1)2=−3(x−1)2g'(x)=\dfrac{2(x-1)-(2x+1)\cdot1}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}.

Étape 2 : g(2)=51=5g(2)=\dfrac{5}{1}=5 et g′(2)=−31=−3g'(2)=\dfrac{-3}{1}=-3.

Étape 3 : y=g′(2)(x−2)+g(2)=−3(x−2)+5y=g'(2)(x-2)+g(2)=-3(x-2)+5.

Réponse : y=−3x+11y=-3x+11.

Exemple résolu

Problème : Bahati dispose de 4040 m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire à poules contre un mur (le mur ferme un côté). Quelles dimensions donnent l’aire maximale ?

Étape 1 : Soit xx la longueur (en m) de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur. Le côté parallèle mesure 40−2x40-2x, avec 0<x<200<x<20.

Étape 2 : Aire : A(x)=x(40−2x)=40x−2x2A(x)=x(40-2x)=40x-2x^2.

Étape 3 : A′(x)=40−4xA'(x)=40-4x s’annule en x=10x=10 ; A′>0A'>0 avant, A′<0A'<0 après : c’est un maximum.

Réponse : 1010 m sur 2020 m, pour une aire maximale de 200200 m².

Attention

Attention : f′(a)=0f'(a)=0 ne suffit pas pour avoir un extremum : pour f(x)=x3f(x)=x^3, f′(0)=0f'(0)=0 mais f′f' ne change pas de signe, et ff est croissante sur R\mathbb{R}. Étudie toujours le signe de f′f' autour de aa. De même, f′′(a)=0f''(a)=0 ne donne un point d’inflexion que si f′′f'' change de signe.

À retenir

  • Tangente en aa : y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a).
  • (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv' ; (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} ; (un)′=nu′un−1(u^n)'=nu'u^{n-1}.
  • Signe de f′f' : variations ; changement de signe de f′f' : extremum.
  • Signe de f′′f'' : concavité ; changement de signe de f′′f'' : point d’inflexion.
  • Optimisation : une variable, un intervalle, un tableau de variation.

✍️ Exercices

Réponds à un exercice à la fois. Ta réponse est corrigée aussitôt, avec une explication.

Exercice 1 sur 8

★ Facile

Quelle est la dérivée de f(x)=4x3−5x+2f(x)=4x^3-5x+2 ?

Ta réponse