Fractions simples et programmation linéaire

Ngalula coud des chemises et des robes dans son atelier de Kananga. Elle dispose d’une quantité limitée de tissu et d’heures de travail : combien de pièces de chaque sorte doit-elle produire pour gagner le plus possible ? La programmation linéaire répond à ce type de question. Dans cette leçon, tu apprends aussi à décomposer une fraction rationnelle en fractions simples, un outil de calcul très utile en analyse.

Décomposition en fractions simples

Une fraction rationnelle est un quotient $F(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ de deux polynômes.

1. Si $\deg P\ge\deg Q$, on effectue d’abord la division euclidienne : $F=E+\dfrac{R}{Q}$ avec $\deg R<\deg Q$ ($E$ est la partie entière).
2. On factorise $Q$, puis on écrit la forme de la décomposition :

• facteurs distincts du premier degré : $\dfrac{P(x)}{(x-a)(x-b)}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}$ ;
• facteur double : $\dfrac{P(x)}{(x-a)^2}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^2}$ ;
• facteur du second degré sans racine réelle : terme $\dfrac{Bx+C}{x^2+px+q}$.

3. On calcule les constantes. Pour un facteur simple $x-a$ : on multiplie $F$ par $(x-a)$, puis on remplace $x$ par $a$. Sinon, on identifie les coefficients.

Inéquations et systèmes à deux inconnues

La droite $ax+by=c$ partage le plan en deux demi-plans. Pour savoir lequel vérifie $ax+by\le c$, on teste un point qui n’est pas sur la droite, souvent $(0\,;\,0)$ : si $a\cdot0+b\cdot0\le c$, c’est le demi-plan qui contient l’origine.

Les solutions d’un système d’inéquations forment l’intersection des demi-plans : c’est la région admissible, souvent un polygone convexe. Ses sommets sont les intersections de deux droites frontières.

Programmation linéaire

Méthode :

1. Choisir les inconnues $x$ et $y$.
2. Traduire les contraintes en inéquations (sans oublier $x\ge0$, $y\ge0$).
3. Représenter la région admissible et calculer ses sommets.
4. Écrire la fonction économique $z=px+qy$ (bénéfice, coût…).
5. Théorème : si la région admissible est un polygone, le maximum et le minimum de $z$ sont atteints en un de ses sommets. On calcule donc $z$ en chaque sommet et on compare.