🇨🇩 Raisonnement et algèbre

Logique et raisonnements

⏱ 30 minProgramme officiel : CD-H3-ALG-01

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🎯 Dans cette leçon, tu vas apprendre à

Utiliser le calcul propositionnel et les types de raisonnement (direct, par l’absurde, par récurrence…).

La leçon

Introduction

Au club de mathématiques d’une école de Kisangani, Kalala affirme : « Si un nombre est divisible par 6, alors il est pair. » Mujinga répond : « Prouve-le, et dis-moi si la réciproque est vraie aussi. » Pour trancher ce genre de débat sans se tromper, il faut un langage précis (les propositions et les connecteurs) et des méthodes de démonstration fiables. C’est l’objet de cette leçon.

Explication

Propositions et connecteurs

Une proposition est un énoncé qui est soit vrai (V), soit faux (F), jamais les deux. Avec deux propositions $P$ et $Q$ , on forme :

la négation $\neg P$ (« non $P$ ») ;
la conjonction $P\land Q$ (« $P$ et $Q$ »), vraie seulement si les deux sont vraies ;
la disjonction $P\lor Q$ (« $P$ ou $Q$ »), fausse seulement si les deux sont fausses ;
l’implication $P\Rightarrow Q$ (« si $P$ , alors $Q$ »), fausse seulement si $P$ est vraie et $Q$ fausse ;
l’équivalence $P\Leftrightarrow Q$ , vraie si $P$ et $Q$ ont la même valeur.

$P$	$Q$	$\neg P$	$P\land Q$	$P\lor Q$	$P\Rightarrow Q$	$P\Leftrightarrow Q$
V	V	F	V	V	V	V
V	F	F	F	V	F	F
F	V	V	F	V	V	F
F	F	V	F	F	V	V

Avec $n$ propositions simples, une table de vérité compte $2^n$ lignes.

Explication

Lois logiques utiles

Deux propositions composées sont équivalentes ( $\equiv$ ) si elles ont la même table de vérité.

Lois de De Morgan : $\neg(P\land Q)\equiv\neg P\lor\neg Q$ et $\neg(P\lor Q)\equiv\neg P\land\neg Q$ .
Négation d’une implication : $\neg(P\Rightarrow Q)\equiv P\land\neg Q$ .
Contraposée : $P\Rightarrow Q\equiv\neg Q\Rightarrow\neg P$ . Elle a toujours la même valeur que l’implication.
Réciproque : $Q\Rightarrow P$ . Elle peut être fausse alors que $P\Rightarrow Q$ est vraie.
Quantificateurs : la négation de « $\forall x,\ P(x)$ » est « $\exists x,\ \neg P(x)$ ».

Une tautologie est une proposition composée toujours vraie, par exemple $P\lor\neg P$ .

Explication

Les types de raisonnement

Raisonnement direct : on part des hypothèses et on enchaîne des déductions jusqu’à la conclusion.
Par contraposée : pour prouver $P\Rightarrow Q$ , on prouve $\neg Q\Rightarrow\neg P$ .
Par l’absurde : on suppose le contraire de ce qu’on veut prouver et on aboutit à une contradiction.
Par contre-exemple : pour montrer qu’un énoncé « pour tout $x$ » est faux, un seul cas où il échoue suffit.
Par récurrence : pour prouver une propriété $P(n)$ pour tout entier $n\ge n_0$ :

initialisation : on vérifie $P(n_0)$  ;
hérédité : on suppose $P(n)$ vraie pour un entier $n\ge n_0$ quelconque et on démontre $P(n+1)$  ;
conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n\ge n_0$ .

Exemple résolu

Problème : $P$ : « $7$ est un nombre premier » ; $Q$ : « $4$ est impair ». Donne la valeur de $P\land Q$ , $P\lor Q$ , $P\Rightarrow Q$ et $Q\Rightarrow P$ .

Étape 1 : $7$ n’a que deux diviseurs, $1$ et $7$ : $P$ est vraie. $4$ est pair : $Q$ est fausse.

Étape 2 : $P\land Q$ est fausse, car $Q$ est fausse. $P\lor Q$ est vraie, car $P$ est vraie.

Étape 3 : $P\Rightarrow Q$ : hypothèse vraie et conclusion fausse, donc l’implication est fausse.

Étape 4 : $Q\Rightarrow P$ : l’hypothèse $Q$ est fausse, donc l’implication est vraie.

Réponse : $P\land Q$ : F ; $P\lor Q$ : V ; $P\Rightarrow Q$ : F ; $Q\Rightarrow P$ : V.

Exemple résolu

Problème : Démontre que pour tout entier $n$ , si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

Étape 1 : Une preuve directe est difficile. On démontre la contraposée : si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair.

Étape 2 : Si $n$ est impair, il existe un entier $k$ tel que $n=2k+1$ .

Étape 3 : $n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ .

Étape 4 : $2k^2+2k$ est un entier, donc $n^2$ est de la forme $2m+1$ : il est impair.

Réponse : La contraposée est vraie, donc l’implication « $n^2$ pair $\Rightarrow$ $n$ pair » est vraie.

Exemple résolu

Problème : Démontre par récurrence que pour tout entier $n\ge1$ : $1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$ .

Étape 1 (initialisation) : Pour $n=1$ , la somme vaut $1$ et $1^2=1$ . La propriété est vraie.

Étape 2 (hérédité) : Supposons que $1+3+\dots+(2n-1)=n^2$ pour un entier $n\ge1$ . Le terme suivant est $2(n+1)-1=2n+1$ .

Étape 3 : $1+3+\dots+(2n-1)+(2n+1)=n^2+2n+1=(n+1)^2$ . La propriété est vraie au rang $n+1$ .

Réponse : Par récurrence, la somme des $n$ premiers nombres impairs vaut $n^2$ pour tout $n\ge1$ .

Attention

Attention : Ne confonds pas la contraposée et la réciproque. « Si un nombre est divisible par 6, alors il est pair » est vraie, et sa contraposée « s’il n’est pas pair, il n’est pas divisible par 6 » aussi. Mais la réciproque « s’il est pair, il est divisible par 6 » est fausse : $4$ est un contre-exemple. De plus, vérifier quelques exemples ne démontre jamais un énoncé « pour tout $n$ ».

À retenir

$P\Rightarrow Q$ est fausse seulement si $P$ est vraie et $Q$ fausse.
De Morgan : $\neg(P\land Q)\equiv\neg P\lor\neg Q$  ; $\neg(P\lor Q)\equiv\neg P\land\neg Q$ .
$P\Rightarrow Q\equiv\neg Q\Rightarrow\neg P$ (contraposée) ; la réciproque $Q\Rightarrow P$ n’est pas équivalente.
Raisonnements : direct, par contraposée, par l’absurde, par contre-exemple, par récurrence.
Récurrence : initialisation, hérédité, conclusion.

✍️ Exercices

Réponds à un exercice à la fois. Ta réponse est corrigée aussitôt, avec une explication.

Exercice 1 sur 8

★ Facile

La proposition $P$ est vraie et la proposition $Q$ est fausse. Quelle est la valeur de vérité de $P\Rightarrow Q$  ?

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✏️ Exemple résolu

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⭐ À retenir

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