Dénombrement et binôme de Newton

Dans une classe de Lubumbashi, il faut élire un chef de classe, un secrétaire et un trésorier, ou simplement choisir trois élèves pour représenter la classe. Le nombre de possibilités est-il le même ? Non, car dans le premier cas l’ordre (le rôle) compte. Le dénombrement permet de compter sans tout écrire ; il conduit au binôme de Newton, qui développe rapidement $(a+b)^n$.

Principe multiplicatif, permutations, arrangements

Si un choix se fait en $k$ étapes successives avec $n_1$, $n_2$, …, $n_k$ possibilités, le nombre total est $n_1\times n_2\times\dots\times n_k$.

• Factorielle : $n!=1\times2\times\dots\times n$, avec $0!=1$.
• Permutations de $n$ objets (tous rangés, l’ordre compte) : $P_n=n!$.
• Arrangements de $p$ objets parmi $n$ (ordre compte, sans répétition) : $A_n^p=\dfrac{n!}{(n-p)!}=n(n-1)\cdots(n-p+1)$.
• Avec répétition (ordre compte) : $n^p$ possibilités.

Combinaisons et triangle de Pascal

Une combinaison de $p$ objets parmi $n$ est un choix sans ordre et sans répétition :
$$C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{A_n^p}{p!}$$
Propriétés : $C_n^0=C_n^n=1$ ; $C_n^p=C_n^{n-p}$ ; formule de Pascal $C_n^p=C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^{p}$.

Le triangle de Pascal range les $C_n^p$ : chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui.
$$\begin{array}{c}1\\1\quad1\\1\quad2\quad1\\1\quad3\quad3\quad1\\1\quad4\quad6\quad4\quad1\\1\quad5\quad10\quad10\quad5\quad1\end{array}$$

Binôme de Newton

Pour tous réels $a$, $b$ et tout entier $n\ge1$ :
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k\,a^{n-k}\,b^k=a^n+C_n^1a^{n-1}b+\dots+C_n^{n-1}ab^{n-1}+b^n$$

• Le terme général (de rang $k+1$) est $T_{k+1}=C_n^k\,a^{n-k}\,b^k$.
• Les coefficients sont ceux de la ligne $n$ du triangle de Pascal.
• Avec $a=b=1$ : $C_n^0+C_n^1+\dots+C_n^n=2^n$.
• Pour $(a-b)^n$, on remplace $b$ par $-b$ : les signes alternent.