Relations trigonométriques et triangle rectangle

Des techniciens d’une société d’électricité installent un poteau électrique à Lubumbashi et le maintiennent avec un câble tendu jusqu’au sol. Connaissant la longueur du câble et l’angle qu’il fait avec le sol, ils calculent la hauteur du point d’attache : c’est la résolution d’un triangle rectangle. Dans cette leçon, tu apprends les relations trigonométriques, les angles associés, la résolution des équations $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\operatorname{tg}x=a$, puis la résolution des triangles rectangles.

Formule fondamentale et signes

Pour tout réel $x$ :
$$\sin^2x+\cos^2x=1.$$
On en déduit, lorsque les expressions existent : $1+\operatorname{tg}^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$ et $1+\operatorname{cotg}^2x=\dfrac{1}{\sin^2x}$, avec $\operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ et $\operatorname{cotg}x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$.

Connaissant $\sin x$, la formule donne $\cos^2x$ ; le quadrant de $x$ fixe le signe :

Angles associés et réduction au 1er quadrant

Grâce à ces formules, on réduit au 1er quadrant le calcul d’un angle quelconque. Exemples : $\cos150^\circ=\cos(180^\circ-30^\circ)=-\cos30^\circ=-\dfrac{\sqrt3}2$ ; $\sin210^\circ=\sin(180^\circ+30^\circ)=-\dfrac12$ ; $\operatorname{tg}135^\circ=-\operatorname{tg}45^\circ=-1$.

Équations trigonométriques de base ($k\in\mathbb{Z}$)

On écrit d’abord le second membre comme le sinus, le cosinus ou la tangente d’un angle connu $\alpha$.

• $\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi$ ou $x=\pi-\alpha+2k\pi$.
• $\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi$ ou $x=-\alpha+2k\pi$.
• $\operatorname{tg}x=\operatorname{tg}\alpha\iff x=\alpha+k\pi$.

Les équations $\sin x=a$ et $\cos x=a$ n’ont de solution que si $-1\le a\le1$. Pour donner les solutions dans un intervalle, comme $[0\,;\,2\pi[$, on remplace $k$ par des entiers successifs.

Triangle rectangle en $A$ : pour l’angle aigu $\widehat B$, $\sin B=\dfrac{AC}{BC}$, $\cos B=\dfrac{AB}{BC}$, $\operatorname{tg}B=\dfrac{AC}{AB}$ ; de plus $BC^2=AB^2+AC^2$ et $\widehat B+\widehat C=90^\circ$. Résoudre le triangle, c’est calculer tous ses côtés et angles à partir de deux éléments, dont au moins un côté.