🇨🇩 Géométrie

Géométrie descriptive : point, droite, plan

⏱ 40 minProgramme officiel : CD-H2-GEO-03

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🎯 Dans cette leçon, tu vas apprendre à

Représenter point, droite et plan en double projection orthogonale (dièdres, plans de projection, plans particuliers).

La leçon

Introduction

Pour fabriquer une pièce métallique dans un atelier de Likasi, le technicien ne travaille pas sur une photo : il lit un plan technique où l’objet est dessiné vu de dessus et vu de face. Ces deux vues sont des projections orthogonales. La géométrie descriptive (méthode de Monge) apprend à représenter exactement un point, une droite ou un plan de l’espace sur une feuille plate, puis à retrouver leurs vraies dimensions.

Explication

Plans de projection et épure

On utilise deux plans perpendiculaires : le plan horizontal $\pi$ et le plan frontal $\pi'$ (vertical). Ils se coupent suivant la ligne de terre (ou charnière), notée ch.
Un point $A$ de l’espace a une projection horizontale $a$ (sur $\pi$ ) et une projection frontale $a'$ (sur $\pi'$ ).
On fait ensuite tourner $\pi$ autour de la ligne de terre pour le rabattre sur $\pi'$ : on obtient l’épure. La partie avant de $\pi$ vient sous la ligne de terre.
Sur l’épure, $a$ et $a'$ sont sur une même perpendiculaire à la ligne de terre : la ligne de rappel.
La cote $c$ de $A$ (sa hauteur au-dessus de $\pi$ ) se lit entre $a'$ et la ligne de terre ; son éloignement $e$ (sa distance devant $\pi'$ ) se lit entre $a$ et la ligne de terre.

Explication

Les quatre dièdres

Les deux plans de projection partagent l’espace en quatre dièdres :

Dièdre	Position de $A$	$a'$	$a$
1er	au-dessus de $\pi$ , devant $\pi'$ ( $c>0$ , $e>0$ )	au-dessus de ch	au-dessous de ch
2e	au-dessus de $\pi$ , derrière $\pi'$ ( $c>0$ , $e<0$ )	au-dessus	au-dessus
3e	au-dessous de $\pi$ , derrière $\pi'$ ( $c<0$ , $e<0$ )	au-dessous	au-dessus
4e	au-dessous de $\pi$ , devant $\pi'$ ( $c<0$ , $e>0$ )	au-dessous	au-dessous

Cas particuliers : un point de $\pi$ a sa projection frontale $a'$ sur la ligne de terre ( $c=0$ ) ; un point de $\pi'$ a sa projection horizontale $a$ sur la ligne de terre ( $e=0$ ).

Comme la ligne de terre, la direction avant-arrière et la verticale sont deux à deux perpendiculaires, la distance de $A$ à $B$ vaut $AB=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta e)^2+(\Delta c)^2}$ .

Explication

Droites : projections, droites particulières et traces

Une droite $D$ de l’espace est représentée par ses deux projections : $d$ (horizontale) et $d'$ (frontale).

Horizontale (parallèle à $\pi$ ) : $d'$ parallèle à ch ; $d$ montre la vraie grandeur.
Frontale (parallèle à $\pi'$ ) : $d$ parallèle à ch ; $d'$ montre la vraie grandeur.
Fronto-horizontale : $d$ et $d'$ parallèles à ch.
Verticale : $d$ réduite à un point, $d'$ perpendiculaire à ch.
Droite de bout (perpendiculaire à $\pi'$ ) : $d'$ réduite à un point, $d$ perpendiculaire à ch.
Droite de profil : $d$ et $d'$ sur une même perpendiculaire à ch.

La trace horizontale $h$ est le point de $D$ de cote $0$  ; la trace frontale $f$ est le point de $D$ d’éloignement $0$ .

Explication

Plans : traces et plans particuliers

Un plan non parallèle à la ligne de terre est souvent donné par ses traces : sa trace horizontale (intersection avec $\pi$ ) et sa trace frontale (intersection avec $\pi'$ ), qui se coupent sur la ligne de terre. On peut aussi le donner par trois points non alignés ou par deux droites sécantes.

Plan	Traces sur l’épure
Plan horizontal (parallèle à $\pi$ )	trace frontale parallèle à ch, pas de trace horizontale
Plan frontal (parallèle à $\pi'$ )	trace horizontale parallèle à ch, pas de trace frontale
Plan vertical (perpendiculaire à $\pi$ )	trace frontale perpendiculaire à ch, trace horizontale quelconque
Plan de bout (perpendiculaire à $\pi'$ )	trace horizontale perpendiculaire à ch, trace frontale quelconque
Plan de profil (perpendiculaire à ch)	deux traces sur une même perpendiculaire à ch

Exemple résolu

On repère un point par $(x\,;\,e\,;\,c)$ : abscisse $x$ le long de la ligne de terre, éloignement $e$ et cote $c$ , en cm.

Problème : Représente $A(2\,;\,3\,;\,4)$ et $B(5\,;\,-2\,;\,3)$ sur l’épure et indique leur dièdre.

Étape 1 : Pour $A$ , on trace la ligne de rappel à 2 cm de l’origine. On place $a'$ à 4 cm au-dessus de ch et $a$ à 3 cm au-dessous. Comme $c>0$ et $e>0$ , $A$ est dans le 1er dièdre ; la distance $aa'$ vaut $4+3=7$ cm.

Étape 2 : Pour $B$ , $e=-2<0$ : $B$ est derrière $\pi'$ , donc $b$ est à 2 cm au-dessus de ch. Avec $c=3>0$ , $b'$ est à 3 cm au-dessus de ch.

Réponse : $A$ est dans le 1er dièdre ; $B$ est dans le 2e dièdre, avec ses deux projections au-dessus de la ligne de terre, à 1 cm l’une de l’autre.

Exemple résolu

On repère un point par $(x\,;\,e\,;\,c)$ : abscisse $x$ le long de la ligne de terre, éloignement $e$ et cote $c$ , en cm.

Problème : Trouve les traces de la droite $(AB)$ avec $A(0\,;\,1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,3\,;\,1)$ .

Étape 1 : De $A$ à $B$ , $x$ augmente de 4, $e$ de 2 et $c$ diminue de 2. Un point de la droite s’écrit $(4t\,;\,1+2t\,;\,3-2t)$ , $t\in\mathbb{R}$ .

Étape 2 : Trace horizontale ( $c=0$ ) : $3-2t=0$ , donc $t=1{,}5$ et $h(6\,;\,4\,;\,0)$ .

Étape 3 : Trace frontale ( $e=0$ ) : $1+2t=0$ , donc $t=-0{,}5$ et $f(-2\,;\,0\,;\,4)$ .

Réponse : $h(6\,;\,4\,;\,0)$ et $f(-2\,;\,0\,;\,4)$ . Sur l’épure, $h'$ est sur ch au point d’abscisse 6, et $f$ est sur ch au point d’abscisse $-2$ .

Exemple résolu

On repère un point par $(x\,;\,e\,;\,c)$ : abscisse $x$ le long de la ligne de terre, éloignement $e$ et cote $c$ , en cm.

Problème : Quelle est la vraie grandeur du segment $[AB]$ avec $A(1\,;\,2\,;\,1)$ et $B(5\,;\,2\,;\,4)$  ?

Étape 1 : $A$ et $B$ ont le même éloignement 2 : $ab$ est parallèle à ch, donc $[AB]$ est un segment de frontale.

Étape 2 : Sa projection frontale $a'b'$ est donc en vraie grandeur : $\Delta x=4$ et $\Delta c=3$ .

Étape 3 : $a'b'=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ .

Réponse : $AB=5$ cm, ce que confirme la formule $\sqrt{4^2+0^2+3^2}$ .

Attention

Attention : Ne confonds pas les deux projections. La cote se lit sur la projection frontale $a'$ , l’éloignement sur la projection horizontale $a$ . Pour un point du 1er dièdre, $a'$ est au-dessus de la ligne de terre et $a$ au-dessous : un point dont les deux projections sont du même côté n’est pas dans le 1er dièdre. Enfin, une projection d’un segment n’est jamais plus longue que le segment : $ab$ est en vraie grandeur seulement pour un segment horizontal, et $a'b'$ seulement pour un segment frontal.

À retenir

Deux plans de projection $\pi$ (horizontal) et $\pi'$ (frontal), ligne de terre ch ; projections $a$ et $a'$ sur une même ligne de rappel.
Cote : distance de $a'$ à ch ; éloignement : distance de $a$ à ch.
1er dièdre : $a'$ au-dessus, $a$ au-dessous ; 2e : les deux au-dessus ; 3e : $a'$ au-dessous, $a$ au-dessus ; 4e : les deux au-dessous.
Droites particulières : horizontale, frontale, verticale, de bout, de profil ; traces $h$ ( $c=0$ ) et $f$ ( $e=0$ ).
Plans particuliers repérés par leurs traces : horizontal, frontal, vertical, de bout, de profil.

✍️ Exercices

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Exercice 1 sur 8

★ Facile

Sur une épure, les deux projections $a$ et $a'$ d’un point $A$ sont situées au-dessus de la ligne de terre. Dans quel dièdre se trouve $A$  ?

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👋 Introduction

📘 Explication

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✏️ Exemple résolu

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⚠️ Attention

⭐ À retenir

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Attention

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