Distributions de fréquences et dispersion

Deux classes d’une école de Bukavu ont la même moyenne en mathématiques. Pourtant, dans l’une, presque tous les élèves ont des notes proches de la moyenne ; dans l’autre, les notes sont très éloignées les unes des autres. La moyenne ne suffit donc pas : il faut aussi mesurer la dispersion. Dans cette leçon, tu apprends à regrouper des données en classes et à calculer l’étendue, la variance et l’écart-type.

Données groupées en classes

Quand la variable prend beaucoup de valeurs (tailles, durées, revenus), on regroupe les données en classes $[a\,;\,b[$.

• L’amplitude de la classe $[a\,;\,b[$ est $b-a$ ; son centre est $c=\dfrac{a+b}2$.
• L’effectif $n_i$ est le nombre de données de la classe ; l’effectif total est $N=\sum n_i$.
• La fréquence de la classe est $f_i=\dfrac{n_i}N$ (souvent en %) ; la somme des fréquences vaut $1$, soit $100\ \%$.
• Les effectifs cumulés croissants indiquent combien de données sont inférieures à la borne supérieure de chaque classe.

On représente une distribution groupée par un histogramme : des rectangles accolés, de base l’amplitude de la classe et d’aire proportionnelle à l’effectif.

Moyenne et étendue

• Moyenne d’une série de valeurs $x_i$ d’effectifs $n_i$ : $\bar x=\dfrac{\sum n_ix_i}{N}$.
• Pour des données groupées, on remplace chaque classe par son centre $c_i$ : $\bar x\approx\dfrac{\sum n_ic_i}{N}$. C’est une valeur approchée, car on suppose les données réparties de façon régulière dans chaque classe.
• Étendue : différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Pour des classes, on prend la borne supérieure de la dernière classe moins la borne inférieure de la première.

L’étendue est simple à calculer, mais elle ne dépend que de deux valeurs : une seule valeur exceptionnelle peut la changer beaucoup.

Variance et écart-type

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
$$V=\frac{\sum n_i(x_i-\bar x)^2}{N}=\frac{\sum n_ix_i^2}{N}-\bar x^2.$$
L’écart-type est $\sigma=\sqrt V$ ; il s’exprime dans la même unité que les données. Pour des données groupées, on utilise les centres $c_i$ à la place des $x_i$.

Interprétation : plus $\sigma$ est petit, plus les valeurs sont concentrées autour de la moyenne. Deux séries de même moyenne peuvent avoir des écarts-types très différents.

Propriétés : si l’on ajoute un même nombre $k$ à toutes les valeurs, la moyenne augmente de $k$ et l’écart-type ne change pas ; si l’on multiplie toutes les valeurs par $k>0$, la moyenne et l’écart-type sont multipliés par $k$.