Droites et plans de l’espace

Dans un atelier de menuiserie de Butembo, on assemble une armoire en forme de pavé. Les montants verticaux, les traverses et les panneaux sont des modèles de droites et de plans de l’espace. Pour que l’armoire soit solide, il faut savoir quand deux pièces sont parallèles, quand elles se coupent, et quand elles ne se rencontrent jamais sans être parallèles. Dans cette leçon, tu apprends à déterminer droites et plans et à étudier leurs positions relatives.

Éléments de détermination

• Une droite est déterminée par deux points distincts.

Un plan est déterminé par l’un des éléments suivants :

• trois points non alignés ;
• une droite et un point qui n’appartient pas à cette droite ;
• deux droites sécantes ;
• deux droites strictement parallèles.

Propriétés de base : si deux points distincts d’une droite appartiennent à un plan, toute la droite est contenue dans ce plan. Dans chaque plan de l’espace, les théorèmes de la géométrie plane restent vrais.

Positions relatives

Pour trouver la droite d’intersection de deux plans sécants, il suffit de trouver deux points distincts communs aux deux plans.

Théorèmes de parallélisme et d’orthogonalité

• Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.
• Une droite $d$ non contenue dans un plan $P$ est parallèle à $P$ si et seulement si elle est parallèle à une droite de $P$.
• Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre, et les deux droites d’intersection sont parallèles.
• Théorème du toit : si $d\parallel d'$, si $P$ contient $d$, si $Q$ contient $d'$ et si $P$ et $Q$ sont sécants suivant $\Delta$, alors $\Delta$ est parallèle à $d$ et à $d'$.
• Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan ; elle est alors orthogonale à toutes les droites du plan.