Vecteurs, repères et produit scalaire

Une équipe de géomètres de Kolwezi place des bornes sur un terrain à l’aide d’un repère : chaque borne reçoit deux coordonnées. Pour vérifier qu’un coin est bien un angle droit ou pour tracer une clôture droite, elle calcule avec des vecteurs, le produit scalaire et les équations de droites. Dans cette leçon, tu apprends ces outils de la géométrie analytique.

Bases et repères du plan

• Deux vecteurs non colinéaires $\vec e_1$ et $\vec e_2$ forment une base du plan : tout vecteur s’écrit de façon unique $\vec u=x\,\vec e_1+y\,\vec e_2$. On dit que $\vec u$ a pour composantes $(x\,;\,y)$.
• Un repère $(O\,;\,\vec e_1,\vec e_2)$ est formé d’un point $O$ et d’une base. Il est orthonormé si $\vec e_1\perp\vec e_2$ et $\|\vec e_1\|=\|\vec e_2\|=1$.
• Pour $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ : $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)$ et le milieu de $[AB]$ est $\left(\dfrac{x_A+x_B}2\,;\,\dfrac{y_A+y_B}2\right)$.
• $\vec u(x\,;\,y)$ et $\vec v(x'\,;\,y')$ sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$.

Produit scalaire

Pour deux vecteurs non nuls qui forment un angle $\theta$ :
$$\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta,$$
et $\vec u\cdot\vec v=0$ si l’un des vecteurs est nul.

Dans un repère orthonormé, avec $\vec u(x\,;\,y)$ et $\vec v(x'\,;\,y')$ :
$$\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\qquad\text{et}\qquad\|\vec u\|=\sqrt{\vec u\cdot\vec u}=\sqrt{x^2+y^2}.$$

Propriétés : $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$ ; $\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$ ; $(k\vec u)\cdot\vec v=k(\vec u\cdot\vec v)$.

Orthogonalité : $\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0$. On en déduit aussi l’angle : $\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}$.

Étude analytique de la droite

• La droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec u(a\,;\,b)$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec u$ sont colinéaires.
• Toute droite a une équation cartésienne $\alpha x+\beta y+\gamma=0$ avec $(\alpha\,;\,\beta)\ne(0\,;\,0)$. Le vecteur $(-\beta\,;\,\alpha)$ en est un vecteur directeur et, en repère orthonormé, $\vec n(\alpha\,;\,\beta)$ est un vecteur normal (perpendiculaire à la droite).
• Si $\beta\ne0$, on obtient la forme $y=mx+p$ : $m$ est la pente (coefficient directeur).
• Deux droites sont parallèles si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires (même pente). En repère orthonormé, elles sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, ou si $mm'=-1$.