Équations et inéquations du 2e degré

Un champ rectangulaire de Kindu a un périmètre de 34 m et une aire de 60 m². Si sa largeur vaut $x$ m, sa longueur vaut $17-x$ m et on doit résoudre $x(17-x)=60$, c’est-à-dire $x^2-17x+60=0$ : une équation du 2e degré. Dans cette leçon, tu apprends à résoudre ces équations, celles qui s’y ramènent, et les inéquations du 2e degré grâce au signe du trinôme.

Résoudre $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$

On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.

• Si $\Delta>0$ : deux racines distinctes $x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$.
• Si $\Delta=0$ : une racine double $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
• Si $\Delta<0$ : aucune racine réelle, $S=\varnothing$.

Formes incomplètes : $ax^2+bx=0\iff x(ax+b)=0$ ; $ax^2+c=0\iff x^2=-\dfrac ca$.

Somme et produit : si les racines existent, $x_1+x_2=-\dfrac ba$ et $x_1x_2=\dfrac ca$. On s’en sert pour contrôler un résultat. Le trinôme se factorise alors en $a(x-x_1)(x-x_2)$.

Équations qui se ramènent au 2e degré

• Équation bicarrée $ax^4+bx^2+c=0$ : on pose $X=x^2$ avec $X\ge0$, on résout $aX^2+bX+c=0$, puis on ne garde que les racines $X\ge0$ et on résout $x^2=X$.
• Équation avec $x$ au dénominateur : on écrit d’abord les conditions (dénominateurs non nuls), on réduit au même dénominateur, puis on vérifie que chaque solution respecte les conditions.
• Équation paramétrique : les coefficients dépendent d’un réel $m$. On étudie à part le cas où le coefficient de $x^2$ est nul, puis on discute selon le signe de $\Delta$. Par exemple, pour $x^2-2x+m=0$, on a $\Delta=4-4m$ : deux racines si $m<1$, une racine double $x=1$ si $m=1$, aucune racine si $m>1$.

Signe du trinôme et inéquations

Méthode pour une inéquation : on fait tout passer dans un membre pour comparer à $0$, on cherche les racines, on applique le tableau, puis on écrit l’ensemble des solutions sous forme d’intervalles. Les racines sont incluses (crochets fermés) pour $\le$ et $\ge$, exclues (crochets ouverts) pour $<$ et $>$.