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Grands nombres, divisibilité et nombres négatifs

⏱ 20 minProgramme officiel : CD-P6-NUM-01

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🎯 Dans cette leçon, tu vas apprendre à

  • Lire, écrire, composer et décomposer de grands nombres entiers et décimaux.
  • Utiliser les caractères de divisibilité (dont 11), le PPCM et le PGCD ; calculer avec des nombres négatifs simples.

La leçon

Introduction

La ville de Kinshasa compte plusieurs millions d’habitants, et une société d’électricité peut facturer des millions de francs chaque jour. Pour lire ces grands nombres sans erreur, il faut connaître les classes. Dans cette leçon, tu revois aussi les caractères de divisibilité, le PPCM et le PGCD, puis tu découvres les nombres négatifs, comme une température en dessous de zéro.

Explication

Les classes d’un grand nombre. On groupe les chiffres par trois à partir de la droite : classe des unités, classe des mille, classe des millions, classe des milliards.

MillionsMilleUnités
45308207

On lit : « quarante-cinq millions trois cent huit mille deux cent sept ».

Décomposer, c’est écrire le nombre comme une somme : 45 308 207 = 45 × 1 000 000 + 308 × 1 000 + 207.

Composer, c’est faire l’inverse : 6 × 1 000 000 + 9 × 1 000 + 50 = 6 009 050. Attention aux zéros des classes incomplètes.

Pour un nombre décimal, les chiffres après la virgule sont les dixièmes, les centièmes, puis les millièmes : dans 12,375, le chiffre 7 vaut 7 centièmes.

Explication

Caractères de divisibilité. Un nombre est divisible :

  • par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
  • par 5 s’il se termine par 0 ou 5 ; par 10 s’il se termine par 0 ;
  • par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4 ;
  • par 3 (ou par 9) si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (ou par 9) ;
  • par 11 si, en partant de la droite, l’écart entre la somme des chiffres de rang impair et celle des chiffres de rang pair (la plus grande moins la plus petite) vaut 0 ou un multiple de 11.

Exemple pour 11 avec 5 291 : rangs impairs (1er et 3e chiffres à partir de la droite) : 1 + 2 = 3 ; rangs pairs : 9 + 5 = 14 ; 14 − 3 = 11. Donc 5 291 est divisible par 11 (5 291 = 11 × 481).

Explication

PGCD et PPCM. On décompose chaque nombre en facteurs premiers.

  • Le PGCD (plus grand commun diviseur) est le produit des facteurs communs, chacun avec son plus petit exposant.
  • Le PPCM (plus petit commun multiple) est le produit de tous les facteurs, chacun avec son plus grand exposant.

Nombres négatifs. Sous zéro, on écrit les nombres avec le signe −. Sur un thermomètre, −4 °C est plus froid que 2 °C : −4 << 2. Pour calculer, on se déplace sur la droite graduée : monter de 6 à partir de −4 donne −4 + 6 = 2 ; descendre de 7 à partir de 3 donne 3 − 7 = −4.

Exemple résolu

Écris en chiffres « trois millions deux cent mille quarante-cinq », puis décompose ce nombre.

Étape 1 : Classe des millions : 3.

Étape 2 : Classe des mille : deux cents, donc 200.

Étape 3 : Classe des unités : quarante-cinq, à écrire sur trois chiffres : 045.

Étape 4 : Le nombre est 3 200 045, et 3 200 045 = 3 × 1 000 000 + 200 × 1 000 + 45.

Réponse : 3 200 045.

Exemple résolu

Mujinga a 24 mangues et 36 oranges. Elle veut faire des paniers tous pareils, sans rien laisser. Combien de paniers peut-elle faire au maximum ?

Étape 1 : 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23×32^3 \times 3 et 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22×322^2 \times 3^2.

Étape 2 : Facteurs communs avec le plus petit exposant : 22×3=122^2 \times 3 = 12. Le PGCD est 12.

Étape 3 : Chaque panier contient 24 ÷ 12 = 2 mangues et 36 ÷ 12 = 3 oranges.

Réponse : 12 paniers au maximum.

Exemple résolu

Dans un congélateur, la température est de −18 °C. On le débranche pour le nettoyer et la température monte de 25 °C. Quelle est la nouvelle température ?

Étape 1 : On part de −18 et on monte de 25 : −18 + 25.

Étape 2 : Il faut d’abord monter de 18 pour arriver à 0, puis il reste 25 − 18 = 7.

Réponse : la température est de 7 °C.

Attention

Attention : quand une classe est incomplète, il faut écrire ses zéros. « Six millions neuf mille cinquante » s’écrit 6 009 050, et non 6 9 50 ni 69 050. Chaque classe, sauf celle de gauche, compte toujours trois chiffres.

À retenir

  • On lit un grand nombre classe par classe : milliards, millions, mille, unités.
  • Chaque classe, sauf la première à gauche, a trois chiffres.
  • Divisible par 11 : différence entre la somme des chiffres de rang impair et celle des chiffres de rang pair égale à 0 ou multiple de 11.
  • PGCD : facteurs communs, plus petits exposants ; PPCM : tous les facteurs, plus grands exposants.
  • Avec les nombres négatifs, on se déplace sur la droite graduée : −4 + 6 = 2 et 3 − 7 = −4.

✍️ Exercices

Réponds à un exercice à la fois. Ta réponse est corrigée aussitôt, avec une explication.

Exercice 1 sur 9

★ Facile

Comment écrit-on en chiffres « quatorze millions six cent mille trente » ?

Ta réponse