Polynômes et division euclidienne

À Mbuji-Mayi, Lukusa fabrique des caisses en bois. Si le côté de la base mesure $x$ dm, le volume d’une caisse peut s’écrire $x^3+2x^2$ : c’est un polynôme. Savoir additionner, multiplier et diviser des polynômes permet de simplifier ces expressions et de trouver des facteurs cachés. Dans cette leçon, tu apprends à opérer sur les polynômes et à effectuer la division euclidienne.

Vocabulaire

• Un monôme est une expression $a x^n$ avec $a\in\mathbb{R}$ et $n\in\mathbb{N}$.
• Un polynôme en $x$ est une somme de monômes : $P(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$ avec $a_n\ne0$.
• Son degré est $n$ (le plus grand exposant) ; $a_n$ est le coefficient dominant et $a_0$ le terme constant.
• On écrit un polynôme sous forme réduite et ordonnée (puissances décroissantes), en regroupant les termes semblables.
• Deux polynômes sont égaux s’ils ont les mêmes coefficients pour chaque puissance de $x$.
• La valeur numérique de $P$ en $a$ est le nombre $P(a)$ obtenu en remplaçant $x$ par $a$.

Exemple : $P(x)=4x-x^3+5$ s’ordonne en $P(x)=-x^3+4x+5$ ; son degré est $3$ et $P(2)=-8+8+5=5$.

Opérations

• Somme et différence : on additionne (ou soustrait) les coefficients des termes de même degré. Pour une différence, on change le signe de chaque terme du polynôme soustrait.
• Produit : on multiplie chaque terme du premier polynôme par chaque terme du second (distributivité), puis on réduit. Le degré d’un produit est la somme des degrés.
• Produits remarquables : $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ; $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ ; $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Division euclidienne

Théorème. Soient $A$ et $B$ deux polynômes, avec $B$ non nul. Il existe un unique couple de polynômes $(Q\,;\,R)$ tel que
$$A=B\times Q+R\quad\text{avec}\quad R=0\ \text{ou}\ \deg R<\deg B.$$
$Q$ est le quotient et $R$ le reste. Si $R=0$, on dit que $B$ divise $A$.

Méthode (polynômes ordonnés, en écrivant $0x^k$ pour les termes manquants) :

1. On divise le terme de plus haut degré de $A$ par celui de $B$ : c’est le premier terme de $Q$.
2. On multiplie $B$ par ce terme et on soustrait le résultat de $A$.
3. On recommence avec le polynôme obtenu, jusqu’à ce que son degré soit inférieur à celui de $B$.

Théorème du reste. Le reste de la division de $P(x)$ par $x-a$ est le nombre $P(a)$. Donc $x-a$ divise $P(x)$ si et seulement si $P(a)=0$.