Langage mathématique et nombres réels

Au marché de Gambela, Mujinga compare des prix, des poids et des températures : elle utilise sans le savoir des nombres entiers, des décimaux, des fractions et des distances. Pour parler de ces nombres avec précision, les mathématiques ont leur propre langage : ensembles, quantificateurs, valeur absolue et puissances. Dans cette leçon, tu apprends à le lire, à l’écrire et à calculer avec lui.

Notations et quantificateurs

• $\in$ : « appartient à » ; $\subset$ : « est inclus dans » ; $\cap$ : intersection ; $\cup$ : réunion.
• $\forall$ : « pour tout » ; $\exists$ : « il existe au moins un ».
• Négation : on change $\forall$ en $\exists$ (et inversement) et on nie la propriété finale. Exemple : la négation de « $\forall x\in\mathbb{R},\ x>1$ » est « $\exists x\in\mathbb{R},\ x\le 1$ ».

Les ensembles de nombres

• $\mathbb{N}$ : entiers naturels $\{0\,;\,1\,;\,2\,;\dots\}$ ; $\mathbb{Z}$ : entiers relatifs.
• $\mathbb{D}$ : nombres décimaux, de la forme $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a\in\mathbb{Z}$, $n\in\mathbb{N}$ (exemple : $0{,}75$).
• $\mathbb{Q}$ : rationnels, de la forme $\dfrac{a}{b}$ avec $a\in\mathbb{Z}$, $b\in\mathbb{Z}^*$.
• $\mathbb{R}$ : ensemble des nombres réels, qui contient aussi les irrationnels comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$.

Ainsi $\dfrac13\in\mathbb{Q}$ mais $\dfrac13\notin\mathbb{D}$ ; $\sqrt2\in\mathbb{R}$ mais $\sqrt2\notin\mathbb{Q}$.

Valeur absolue

Pour $x\in\mathbb{R}$ : $|x|=x$ si $x\ge0$ et $|x|=-x$ si $x<0$. C’est la distance de $x$ à $0$ ; $|a-b|$ est la distance entre $a$ et $b$.

• $|x|\ge0$ et $|ab|=|a|\,|b|$.
• Pour $r>0$ : $|x|=r\iff x=r$ ou $x=-r$.
• Pour $r>0$ : $|x|\le r\iff -r\le x\le r$, soit $x\in[-r\,;\,r]$.
• Plus généralement, $|x-a|\le r\iff x\in[a-r\,;\,a+r]$.

Puissances ($a,b\in\mathbb{R}^*$, $m,n\in\mathbb{Z}$)

• $a^0=1$ ; $a^{-n}=\dfrac1{a^n}$.
• $a^m\times a^n=a^{m+n}$ ; $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ ; $(a^m)^n=a^{mn}$ ; $(ab)^n=a^nb^n$.
• Attention : $(-3)^2=9$ mais $-3^2=-9$.

Proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles s’il existe un nombre $k$ tel que $y=kx$ ($k$ est le coefficient). Alors $\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}$, et $\dfrac ab=\dfrac cd\iff ad=bc$ (avec $b,d\ne0$). On retrouve une valeur inconnue par la règle de trois ou le produit en croix.