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🇨🇩 Géométrie

Triangles, quadrilatères et cercle

⏱ 25 minProgramme officiel : CD-E7-GEO-03

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🎯 Dans cette leçon, tu vas apprendre à

  • Tracer hauteurs, médianes, médiatrices et bissectrices d’un triangle.
  • Calculer périmètres et aires des quadrilatères ; distinguer cercle et disque.

La leçon

Introduction

Esengo dessine le plan du jardin scolaire de Kindu : une parcelle en forme de trapèze, un massif de fleurs en losange et un puits circulaire. Pour acheter la bonne quantité de grillage et de semences, il doit calculer des périmètres et des aires. Dans cette leçon, tu apprends aussi à tracer les droites remarquables d’un triangle et à distinguer le cercle du disque.

Explication

Droites remarquables d’un triangle

  • Hauteur : droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement).
  • Médiane : segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
  • Médiatrice d’un côté : droite perpendiculaire à ce côté en son milieu. Tout point de la médiatrice de [BC][BC] est à la même distance de BB et de CC.
  • Bissectrice d’un angle : demi-droite qui partage l’angle en deux angles de même mesure.

Les trois droites de chaque sorte se coupent en un même point : l’orthocentre (hauteurs), le centre de gravité GG (médianes, situé aux 23\dfrac{2}{3} de chaque médiane à partir du sommet), le centre du cercle circonscrit (médiatrices) et le centre du cercle inscrit (bissectrices).

Rappel : la somme des angles d’un triangle vaut 180∘180^\circ.

Explication

Périmètres et aires

Le périmètre d’un polygone est la somme des longueurs de ses côtés.

FigureAire
Rectangle (LL, ℓ\ell)L×ℓL\times\ell
Carré (côté cc)c2c^2
Parallélogramme (base bb, hauteur hh)b×hb\times h
Losange (diagonales DD et dd)D×d2\dfrac{D\times d}{2}
Trapèze (bases BB et bb, hauteur hh)(B+b)×h2\dfrac{(B+b)\times h}{2}
Triangle (base bb, hauteur hh)b×h2\dfrac{b\times h}{2}

La hauteur est toujours mesurée perpendiculairement à la base.

Explication

Cercle et disque

  • Le cercle de centre OO et de rayon rr est l’ensemble des points situés exactement à la distance rr de OO. C’est une ligne : on mesure sa longueur (sa circonférence).
  • Le disque de centre OO et de rayon rr est l’ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à rr de OO. C’est une surface : on mesure son aire.

Avec le diamètre d=2rd=2r et π≈3,14\pi\approx3{,}14 :
longueur du cercle=2πr=πdaire du disque=πr2\text{longueur du cercle}=2\pi r=\pi d\qquad\text{aire du disque}=\pi r^2

Exemple résolu

Problème : Dans un triangle ABCABC, construis la médiatrice de [BC][BC] et la médiane issue de AA.

Étape 1 : Avec le compas, trace deux arcs de centre BB et deux arcs de centre CC, de même rayon (plus grand que la moitié de BCBC). Ils se coupent en deux points PP et QQ.

Étape 2 : La droite (PQ)(PQ) est la médiatrice de [BC][BC] ; elle coupe [BC][BC] en son milieu II.

Étape 3 : Trace le segment [AI][AI] : c’est la médiane issue de AA.

Réponse : la médiatrice (PQ)(PQ) est perpendiculaire à [BC][BC] en II ; la médiane [AI][AI] relie AA à ce milieu.

Exemple résolu

Problème : La parcelle du jardin est un trapèze de bases 4040 m et 2626 m, et de hauteur 1515 m. Le massif de fleurs est un losange de diagonales 1212 m et 88 m. Calcule ces deux aires.

Étape 1 : Trapèze : (40+26)×152=66×152=9902=495 m2\dfrac{(40+26)\times15}{2}=\dfrac{66\times15}{2}=\dfrac{990}{2}=495\ \text{m}^2.

Étape 2 : Losange : 12×82=48 m2\dfrac{12\times8}{2}=48\ \text{m}^2.

Réponse : la parcelle mesure 495 m2495\ \text{m}^2 et le massif 48 m248\ \text{m}^2.

Exemple résolu

Problème : La margelle du puits est un cercle de rayon 0,70{,}7 m. Calcule la longueur de ce cercle et l’aire du disque qu’il limite, avec π≈3,14\pi\approx3{,}14. Arrondis au centième.

Étape 1 : Longueur : 2×3,14×0,7=4,3962\times3{,}14\times0{,}7=4{,}396 m, soit environ 4,404{,}40 m.

Étape 2 : Aire : 3,14×0,72=3,14×0,49=1,5386 m23{,}14\times0{,}7^2=3{,}14\times0{,}49=1{,}5386\ \text{m}^2, soit environ 1,54 m21{,}54\ \text{m}^2.

Réponse : environ 4,404{,}40 m et 1,54 m21{,}54\ \text{m}^2.

Attention

Attention : ne mélange pas les deux formules. La longueur du cercle (2πr2\pi r) est une longueur, en m ; l’aire du disque (πr2\pi r^2) est une surface, en m2\text{m}^2. Dans πr2\pi r^2, on utilise le rayon, pas le diamètre : pour un diamètre de 44 m, r=2r=2 m et l’aire vaut 3,14×4=12,56 m23{,}14\times4=12{,}56\ \text{m}^2.

À retenir

  • Hauteur : perpendiculaire au côté opposé ; médiane : vers le milieu du côté opposé ; médiatrice : perpendiculaire au milieu d’un côté ; bissectrice : partage un angle en deux.
  • Le centre de gravité est aux 23\dfrac{2}{3} de chaque médiane à partir du sommet.
  • Aires : losange D×d2\dfrac{D\times d}{2} ; trapèze (B+b)×h2\dfrac{(B+b)\times h}{2} ; parallélogramme b×hb\times h.
  • Cercle (ligne, longueur 2πr2\pi r) ; disque (surface, aire πr2\pi r^2).

✍️ Exercices

Réponds à un exercice à la fois. Ta réponse est corrigée aussitôt, avec une explication.

Exercice 1 sur 8

★ Facile

Dans un triangle, comment appelle-t-on le segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé ?

Ta réponse