Développements en série et différentielle

Une calculatrice ne connaît pas directement $e^{0{,}1}$ ou $\sin0{,}3$ : elle les calcule avec des polynômes qui approchent très bien ces fonctions près d’un point. Ces polynômes sont donnés par les formules de Taylor et de Mac Laurin. Le premier terme utile, la différentielle, permet déjà d’estimer rapidement l’effet d’une petite variation : de combien augmente l’aire d’une tôle carrée si son côté s’allonge d’un millimètre ?

Différentielle

Si $f$ est dérivable en $x$, la différentielle de $f$ en $x$ est $\mathrm{d}y=f'(x)\,\mathrm{d}x$, où $\mathrm{d}x=\Delta x$ est une petite variation de $x$.

Interprétation graphique : quand on passe de $x$ à $x+\Delta x$, la vraie variation est $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$, mesurée sur la courbe ; la différentielle $\mathrm{d}y$ est la variation mesurée sur la tangente. Pour $\Delta x$ petit, $\Delta y\approx\mathrm{d}y$, d’où l’approximation affine
$$f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\,\Delta x.$$
Règles : $\mathrm{d}(u+v)=\mathrm{d}u+\mathrm{d}v$, $\mathrm{d}(uv)=v\,\mathrm{d}u+u\,\mathrm{d}v$.

Formules de Taylor et de Mac Laurin

Si $f$ admet des dérivées successives jusqu’à l’ordre $n$ près de $a$, alors pour $h$ petit :
$$f(a+h)\approx f(a)+f'(a)\,h+\frac{f''(a)}{2!}h^2+\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n.$$
L’erreur commise est d’autant plus petite que $h$ est proche de $0$ (elle est de l’ordre de $h^{n+1}$). Avec $a=0$ et $h=x$, on obtient la formule de Mac Laurin :
$$f(x)\approx f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\dots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n.$$

Développements usuels (près de $x=0$)

Le sinus (fonction impaire) n’a que des puissances impaires ; le cosinus (fonction paire) n’a que des puissances paires.