Fonctions logarithmes et exponentielles

Une ville dont la population augmente chaque année d’un même pourcentage, une moto dont la valeur baisse régulièrement, un médicament qui s’élimine peu à peu du sang : toutes ces grandeurs suivent des lois exponentielles. Pour savoir quand un seuil sera atteint, on utilise la fonction réciproque, le logarithme népérien. Cette leçon étudie les fonctions $\ln$ et $\exp$, leurs dérivées, et la résolution d’équations et d’inéquations.

La fonction logarithme népérien

$\ln$ est définie sur $]0\,;\,+\infty[$, avec $\ln1=0$ et $(\ln x)'=\dfrac1x$. Elle est strictement croissante, et $\ln e=1$ avec $e\approx2{,}718$.

Pour $a>0$, $b>0$ et $n\in\mathbb{Z}$ :

• $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ ; $\ln\dfrac ab=\ln a-\ln b$ ; $\ln(a^n)=n\ln a$ ; $\ln\sqrt a=\dfrac12\ln a$.

Limites : $\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$, et par croissance comparée $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$, $\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0$.

Si $u>0$ est dérivable : $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$.

La fonction exponentielle

$\exp$ est la réciproque de $\ln$ : pour tout réel $x$ et tout $y>0$, $y=e^x\iff x=\ln y$. Ainsi $e^{\ln y}=y$ et $\ln(e^x)=x$.

• $e^x>0$ pour tout $x$ ; $(e^x)'=e^x$ ; plus généralement $(e^u)'=u'e^u$.
• $e^{a+b}=e^ae^b$ ; $e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}$ ; $(e^a)^n=e^{na}$.
• $\lim\limits_{x\to-\infty}e^x=0$, $\lim\limits_{x\to+\infty}e^x=+\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$, $\lim\limits_{x\to-\infty}xe^x=0$.

Équations et inéquations : comme $\ln$ et $\exp$ sont strictement croissantes,

• $e^a=e^b\iff a=b$ et $e^a<e^b\iff a<b$ ;
• pour $a>0$, $b>0$ : $\ln a=\ln b\iff a=b$ et $\ln a<\ln b\iff a<b$.

On commence toujours par fixer le domaine des expressions contenant $\ln$.

Modèles de croissance et de décroissance

Une grandeur qui varie à un taux instantané constant $k$ suit la loi $N(t)=N_0e^{kt}$, où $N_0$ est la valeur initiale.

• $k>0$ : croissance (population, capital). Le temps de doublement est $T=\dfrac{\ln2}{k}$, car $e^{kT}=2$.
• $k<0$ : décroissance (valeur d’un bien qui s’use, quantité d’un produit qui s’élimine). La demi-vie est $\dfrac{\ln2}{|k|}$.

Pour trouver l’instant où $N(t)$ atteint une valeur $N_1$, on résout $e^{kt}=\dfrac{N_1}{N_0}$, soit $t=\dfrac1k\ln\dfrac{N_1}{N_0}$.