Nombres complexes

L’équation $x^2+1=0$ n’a pas de solution réelle, car un carré réel n’est jamais négatif. Les mathématiciens ont donc construit un ensemble plus grand, l’ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, dans lequel toute équation du second degré a des solutions. Ces nombres servent aujourd’hui en électricité (courant alternatif, comme sur le réseau qui part d’Inga), en traitement du signal et en géométrie plane.

Forme algébrique

On admet l’existence d’un nombre $i$ tel que $i^2=-1$. Tout nombre complexe s’écrit de façon unique $z=a+bi$ avec $a,b\in\mathbb{R}$ :

• $a=\operatorname{Re}(z)$ est la partie réelle, $b=\operatorname{Im}(z)$ la partie imaginaire ;
• $z$ est réel si $b=0$, imaginaire pur si $a=0$.

On calcule comme avec des polynômes en $i$, en remplaçant $i^2$ par $-1$. Les puissances de $i$ se répètent tous les $4$ : $i^0=1$, $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$.

Le conjugué de $z=a+bi$ est $\bar z=a-bi$, et $z\bar z=a^2+b^2$ est un réel positif. Pour diviser, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :
$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\,\bar z_2}{z_2\,\bar z_2}.$$

Module, argument, forme trigonométrique

Dans un repère orthonormé, $z=a+bi$ est représenté par le point $M(a\,;\,b)$.

• Le module est $|z|=OM=\sqrt{a^2+b^2}$.
• Un argument de $z\ne0$ est une mesure $\theta$ de l’angle $(\vec{e}_1,\overrightarrow{OM})$ ; il est défini à $2k\pi$ près et vérifie $\cos\theta=\dfrac{a}{|z|}$, $\sin\theta=\dfrac{b}{|z|}$.
• Forme trigonométrique : $z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$ avec $\rho=|z|$, que l’on note aussi $z=\rho e^{i\theta}$.

Propriétés : $|z_1z_2|=|z_1|\,|z_2|$ et $\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2$ (à $2\pi$ près) ; pour un quotient, on divise les modules et on soustrait les arguments.

Formule de Moivre : $\left[\rho(\cos\theta+i\sin\theta)\right]^n=\rho^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$.

Équations dans $\mathbb{C}$

• Racines carrées de $w=c+di$ : on cherche $z=x+yi$ avec $z^2=w$, c’est-à-dire $x^2-y^2=c$ et $2xy=d$ ; on ajoute la condition $x^2+y^2=|w|$. Tout $w\ne0$ a exactement deux racines carrées opposées.
• Équation $az^2+bz+c=0$ ($a\ne0$, coefficients réels) avec $\Delta=b^2-4ac$ :
• si $\Delta\ge0$, les solutions sont réelles, comme dans $\mathbb{R}$ ;
• si $\Delta<0$, on écrit $\Delta=\left(i\sqrt{-\Delta}\right)^2$ et les solutions sont conjuguées : $z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Avec des coefficients complexes, on garde la même formule en remplaçant $\sqrt\Delta$ par une racine carrée complexe $\delta$ de $\Delta$ : $z=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}$.