Fonctions : domaine, symétries, limites et continuité

Le débit d’une rivière, le prix d’un sac de ciment selon la quantité commandée, la température au cours d’une journée à Kindu : beaucoup de grandeurs sont des fonctions. Avant de tracer leur courbe, il faut savoir où elles sont définies, si elles ont des symétries, et comment elles se comportent aux bords de leur domaine. C’est le rôle des limites, de la continuité et des asymptotes.

Domaine et éléments de symétrie

Le domaine de définition $D_f$ exclut les valeurs qui annulent un dénominateur, qui rendent négatif le radicande d’une racine carrée, ou l’argument d’un logarithme négatif ou nul.

• $f$ est paire si $D_f$ est symétrique par rapport à $0$ et $f(-x)=f(x)$ : la courbe est symétrique par rapport à l’axe $Oy$.
• $f$ est impaire si $D_f$ est symétrique et $f(-x)=-f(x)$ : la courbe est symétrique par rapport à l’origine $O$.
• $f$ est périodique de période $T>0$ si $f(x+T)=f(x)$ pour tout $x$. Par exemple $\sin x$ et $\cos x$ ont pour période $2\pi$, $\operatorname{tg}x$ a pour période $\pi$ ; $\sin(kx)$ a pour période $\dfrac{2\pi}{|k|}$.
• La droite $x=a$ est un axe de symétrie si $f(2a-x)=f(x)$ ; le point $(a\,;\,b)$ est un centre de symétrie si $f(2a-x)+f(x)=2b$.

Limites

• En $\pm\infty$, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ; une fraction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré.
• Formes indéterminées : $\dfrac00$, $\dfrac\infty\infty$, $\infty-\infty$, $0\times\infty$. On lève l’indétermination en factorisant, en simplifiant ou en multipliant par l’expression conjuguée.
• Pour une limite en $a$ d’un quotient dont le dénominateur tend vers $0$ (et le numérateur vers un nombre non nul), la limite est infinie : on étudie le signe à gauche et à droite de $a$.

Continuité

$f$ est continue en $a$ si $a\in D_f$ et $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$. Les polynômes, les fractions rationnelles, les fonctions trigonométriques et les racines sont continus sur leur domaine. Si $f$ n’est pas définie en $a$ mais a une limite finie $\ell$ en $a$, on peut la prolonger par continuité en posant $f(a)=\ell$.

Asymptotes

• Verticale $x=a$ : si $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\pm\infty$.
• Horizontale $y=b$ : si $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=b$.
• Oblique $y=mx+p$ (avec $m\ne0$) : si $\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-(mx+p)]=0$. On calcule $m=\lim\dfrac{f(x)}{x}$, puis $p=\lim[f(x)-mx]$. Pour une fraction rationnelle, la division euclidienne donne directement $f(x)=mx+p+\dfrac{R(x)}{Q(x)}$.