Logarithmes et suites

Matondo, élève à Matadi, décide d’économiser un peu plus chaque semaine. Au même moment, la population d’une ville grandit d’un pourcentage fixe chaque année. Le premier cas est une suite arithmétique, le second une suite géométrique. Pour savoir quand une quantité géométrique atteindra un seuil, on a besoin des logarithmes. Cette leçon réunit ces deux outils.

Logarithmes

Soit $a>0$, $a\ne1$. Pour $x>0$ : $\log_a x=y\iff a^y=x$. Le logarithme décimal est $\log x=\log_{10}x$ ; le logarithme népérien $\ln x$ a pour base $e\approx2{,}718$.

Pour $x>0$, $y>0$ et $n$ réel :

• $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ ;
• $\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ ;
• $\log_a(x^n)=n\log_a x$ ;
• $\log_a1=0$ et $\log_a a=1$ ;
• changement de base : $\log_a x=\dfrac{\log x}{\log a}$.

Une équation logarithmique se résout seulement là où tous les logarithmes sont définis (arguments strictement positifs).

Suites arithmétiques

Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout $n$.

• Terme général : $u_n=u_1+(n-1)r$ (ou $u_n=u_0+nr$).
• Somme de termes consécutifs : $S=\dfrac{(\text{nombre de termes})\times(\text{premier}+\text{dernier})}{2}$.

Suites géométriques

Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si $u_{n+1}=q\,u_n$ pour tout $n$.

• Terme général : $u_n=u_1\,q^{\,n-1}$ (ou $u_n=u_0\,q^n$).
• Somme des $n$ premiers termes, pour $q\ne1$ : $S_n=u_1\,\dfrac{1-q^n}{1-q}$.
• Une hausse de $t\,\%$ par an correspond à $q=1+\dfrac{t}{100}$.