Fonction du 2e degré

Une éleveuse de Kikwit veut construire un enclos rectangulaire pour ses chèvres le long d’un mur, avec 40 m de grillage. Si la largeur vaut $x$ m, l’aire vaut $A(x)=x(40-2x)=-2x^2+40x$ : c’est une fonction du 2e degré. Sa courbe, une parabole, indique directement la largeur qui donne le plus grand enclos. Dans cette leçon, tu apprends à étudier et à représenter ces fonctions.

Définition et forme canonique

Une fonction du 2e degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a,b,c\in\mathbb{R}$ et $a\ne0$. Elle est définie sur $\mathbb{R}$ et sa représentation graphique est une parabole.

On note $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant. En complétant le carré, on obtient la forme canonique :
$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\quad\text{avec}\quad\alpha=-\frac{b}{2a}\quad\text{et}\quad\beta=f(\alpha)=-\frac{\Delta}{4a}.$$

• Le point $S(\alpha\,;\,\beta)$ est le sommet de la parabole.
• La droite d’équation $x=\alpha$ est son axe de symétrie : deux réels symétriques par rapport à $\alpha$ ont la même image.

Concavité et variations

Le signe de $a$ décide de tout, car $(x-\alpha)^2\ge0$ :

• Si $a>0$, la concavité est tournée vers le haut. La fonction $f$ décroît sur $]-\infty\,;\,\alpha]$, croît sur $[\alpha\,;\,+\infty[$ et admet un minimum égal à $\beta$, atteint en $x=\alpha$.
• Si $a<0$, la concavité est tournée vers le bas. La fonction $f$ croît sur $]-\infty\,;\,\alpha]$, décroît sur $[\alpha\,;\,+\infty[$ et admet un maximum égal à $\beta$, atteint en $x=\alpha$.

Plus $|a|$ est grand, plus la parabole est étroite. Toutes les paraboles $y=ax^2+bx+c$ ont la même forme que $y=ax^2$, déplacée pour que le sommet soit en $S$.

Intersections avec les axes et tracé

• Avec l’axe $Oy$ : le point $(0\,;\,c)$, car $f(0)=c$.
• Avec l’axe $Ox$ : on résout $f(x)=0$.
• Si $\Delta>0$, il y a deux points, d’abscisses $x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$, symétriques par rapport à l’axe.
• Si $\Delta=0$, la parabole touche $Ox$ en un seul point : son sommet $(\alpha\,;\,0)$.
• Si $\Delta<0$, la parabole n’a aucun point commun avec $Ox$.

Pour tracer la parabole : place le sommet et l’axe, les points d’intersection avec les axes, puis le symétrique $(2\alpha\,;\,c)$ du point $(0\,;\,c)$ par rapport à l’axe. Relie ces points par une courbe régulière, sans pointe au sommet.