🇨🇩 Géométrie

Transformations et vecteurs

⏱ 30 minProgramme officiel : CD-H1-GEO-01

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🎯 Dans cette leçon, tu vas apprendre à

Construire isométries planes et homothéties ; opérer sur les vecteurs.

La leçon

Introduction

Un couturier de Kinshasa reproduit un motif de pagne : il le fait glisser, le retourne ou le fait tourner sans changer sa taille, puis il l’agrandit pour une nappe. Ces gestes correspondent à des transformations du plan : isométries et homothéties. Pour les décrire avec précision, on utilise les vecteurs. Dans cette leçon, tu apprends à construire ces transformations et à calculer avec des vecteurs.

Explication

Isométries du plan

Une isométrie conserve les distances : si $M'$ et $N'$ sont les images de $M$ et $N$ , alors $M'N'=MN$ . Elle conserve aussi les angles, l’alignement, le parallélisme et les aires.

Transformation	Image $M'$ de $M$	Dans un repère, image de $(x\,;\,y)$
Translation de vecteur $\vec u\,(a\,;\,b)$	$\overrightarrow{MM'}=\vec u$	$(x+a\,;\,y+b)$
Symétrie centrale de centre $O$	$O$ milieu de $[MM']$	$(-x\,;\,-y)$
Symétrie orthogonale d’axe $(Ox)$	$(Ox)$ médiatrice de $[MM']$	$(x\,;\,-y)$
Rotation de centre $O$ , d’angle $90^\circ$ (sens direct)	$OM'=OM$ et $\widehat{MOM'}=90^\circ$	$(-y\,;\,x)$

Le sens direct (ou positif) est le sens contraire des aiguilles d’une montre.

Explication

Homothétie

Soient un point $O$ et un réel $k\ne0$ . L’homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ associe à tout point $M$ le point $M'$ tel que $\overrightarrow{OM'}=k\,\overrightarrow{OM}$ .

$O$ , $M$ et $M'$ sont alignés. Si $k>0$ , $M'$ est du même côté que $M$ par rapport à $O$  ; si $k<0$ , $O$ est entre $M$ et $M'$ .
Les longueurs sont multipliées par $|k|$ et les aires par $k^2$ .
L’image d’une droite est une droite parallèle ; les angles sont conservés.
Si $|k|>1$ , c’est un agrandissement ; si $0<|k|<1$ , une réduction. Une homothétie de rapport $k=-1$ est une symétrie centrale.
Si $O$ est l’origine du repère, l’image de $(x\,;\,y)$ est $(kx\,;\,ky)$ .

Explication

Vecteurs

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est défini par une direction (celle de la droite $(AB)$ ), un sens (de $A$ vers $B$ ) et une norme (la longueur $AB$ ).

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ signifie que $ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Relation de Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .
Opposé : $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$ , et $\overrightarrow{AA}=\vec0$ .
Produit par un réel : $k\vec u$ a la même direction que $\vec u$ , le même sens si $k>0$ , le sens contraire si $k<0$ , et une norme multipliée par $|k|$ .
Dans un repère, si $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ , alors $\overrightarrow{AB}\,(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)$ .

Exemple résolu

Problème : Dans un repère d’origine $O$ , on donne $A(2\,;\,3)$ . Trouve l’image de $A$ par : la translation de vecteur $\vec u\,(-4\,;\,1)$  ; la symétrie de centre $O$  ; la rotation de centre $O$ et d’angle $90^\circ$ (sens direct) ; l’homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$ .

Étape 1 : Translation : $(2-4\,;\,3+1)=(-2\,;\,4)$ .

Étape 2 : Symétrie centrale : $(-2\,;\,-3)$ .

Étape 3 : Rotation : $(x\,;\,y)\mapsto(-y\,;\,x)$ donne $(-3\,;\,2)$ . Contrôle : la distance à $O$ reste $\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ .

Étape 4 : Homothétie : $(-2\times2\,;\,-2\times3)=(-4\,;\,-6)$ .

Réponse : $(-2\,;\,4)$ , $(-2\,;\,-3)$ , $(-3\,;\,2)$ et $(-4\,;\,-6)$ .

Exemple résolu

Problème : Un triangle a des côtés de 3 cm, 4 cm et 5 cm ; c’est un triangle rectangle d’aire 6 cm². On lui applique une homothétie de rapport $-1{,}5$ . Calcule les côtés et l’aire de l’image.

Étape 1 : Les longueurs sont multipliées par $|-1{,}5|=1{,}5$ : $4{,}5$ cm, $6$ cm et $7{,}5$ cm.

Étape 2 : L’aire est multipliée par $(-1{,}5)^2=2{,}25$ : $6\times2{,}25=13{,}5$ cm².

Étape 3 : Contrôle : l’image est rectangle, d’aire $\dfrac{4{,}5\times6}{2}=13{,}5$ cm².

Réponse : côtés 4,5 cm, 6 cm et 7,5 cm ; aire 13,5 cm².

Exemple résolu

Problème : Simplifie $\vec u=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}$ et $\vec v=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}$ .

Étape 1 : On réordonne la somme pour enchaîner les points : $\vec u=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$ .

Étape 2 : Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ , puis $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\vec0$ .

Étape 3 : $-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BM}$ , donc $\vec v=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BA}$ .

Réponse : $\vec u=\vec0$ et $\vec v=\overrightarrow{BA}$ .

Attention

Attention : Avec une homothétie de rapport $k$ , les aires sont multipliées par $k^2$ , pas par $k$ : avec $k=3$ , une aire de 2 cm² devient 18 cm², et non 6 cm². Si $k$ est négatif, les longueurs sont multipliées par $|k|$ : une longueur ne devient jamais négative.

À retenir

Isométries (translation, symétries, rotation) : elles conservent distances, angles et aires.
Homothétie $(O\,;\,k)$ : $\overrightarrow{OM'}=k\,\overrightarrow{OM}$  ; longueurs $\times|k|$ , aires $\times k^2$ .
Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$  ; $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$ .
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff ABCD$ est un parallélogramme.
$\overrightarrow{AB}\,(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)$ .

✍️ Exercices

Réponds à un exercice à la fois. Ta réponse est corrigée aussitôt, avec une explication.

Exercice 1 sur 8

★ Facile

Laquelle de ces transformations n’est pas une isométrie ?

🎯 Dans cette leçon, tu vas apprendre à

La leçon

👋 Introduction

📘 Explication

📘 Explication

📘 Explication

✏️ Exemple résolu

✏️ Exemple résolu

✏️ Exemple résolu

⚠️ Attention

⭐ À retenir

✍️ Exercices

Introduction

Explication

Explication

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Exemple résolu

Exemple résolu

Exemple résolu

Attention

À retenir