Fonctions, équations et inéquations du 1er degré

À Bukavu, le prix d’une course en taxi-moto se compose souvent d’un montant fixe et d’un montant par kilomètre. Ce prix est une fonction du 1er degré de la distance. Pour comparer deux tarifs, trouver une distance ou fixer un budget, on résout des équations, des systèmes et des inéquations du 1er degré. Cette leçon t’apprend à le faire avec méthode et à écrire les solutions sous forme d’intervalles.

Fonction affine

Une fonction affine est de la forme $f(x)=ax+b$ avec $a,b\in\mathbb{R}$. Sa représentation graphique est une droite.

• $a$ est le coefficient directeur (la pente) : $a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ pour $x_1\ne x_2$.
• $b=f(0)$ est l’ordonnée à l’origine.
• Si $b=0$, $f(x)=ax$ est une fonction linéaire : elle traduit une situation de proportionnalité, et sa droite passe par l’origine.
• Si $a>0$, $f$ est croissante ; si $a<0$, elle est décroissante ; si $a=0$, elle est constante.
• Si $a\ne0$, $f$ s’annule en $x_0=-\dfrac ba$ : $f(x)$ a le signe de $a$ pour $x>x_0$ et le signe contraire pour $x<x_0$.

Équations et systèmes 2 × 2

• Pour résoudre $ax+b=0$ avec $a\ne0$ : $x=-\dfrac ba$. On peut ajouter un même nombre aux deux membres ou les multiplier par un même nombre non nul.
• Un système de deux équations à deux inconnues se résout par substitution (on exprime une inconnue en fonction de l’autre) ou par combinaison (on additionne des multiples des équations pour éliminer une inconnue).
• Le système $\begin{cases}ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{cases}$ a une solution unique si et seulement si son déterminant $ab'-a'b$ est non nul. Si $ab'-a'b=0$, il n’a aucune solution ou une infinité de solutions.
• On vérifie toujours la solution trouvée dans les deux équations.

Inéquations et intervalles

• On peut ajouter un même nombre aux deux membres d’une inéquation.
• On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre positif : le sens ne change pas.
• Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité.
• On écrit l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle : $x\le3$ donne $]-\infty\,;\,3]$ ; $x>-2$ donne $]-2\,;+\infty[$. Le crochet est fermé si la borne est atteinte, ouvert sinon ; il est toujours ouvert du côté de $\pm\infty$.
• Pour un système d’inéquations, on résout chaque inéquation puis on prend l’intersection des ensembles de solutions.